Tensor

Ein Tensor ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra und Differentialgeometrie. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik eingeführt und erst später mathematisch präzisiert. Auch heute noch ist die Tensoranalysis ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen Disziplinen. Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, also eine Abbildung, welche in jeder Variablen linear ist. Einen Tensor kann man u.a. als eine mehrdimensionale Matrix darstellen.

Levi-Civita-Symbol

Einleitung

Wort- und Begriffsgeschichte

Das Wort Tensor (lat. tendo: ich spanne) wurde in den 1840er Jahren von Hamilton in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, also noch keinen Tensor im modernen Sinn.

Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben.

In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix, wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt.

Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten; einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch Calcolo differenziale assoluto zugänglich, das bald in andere Sprachen übersetzt wurde, und aus dem sich Einstein die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er führte überdies die einsteinsche Summenkonvention ein, nach der über doppelt auftretende Indizes unter Weglassung der Summenzeichen summiert wird.

Unterschiedliche Betrachtungsweisen

Der Begriff des Tensors wird sowohl in der Physik als auch in der Mathematik verwendet. In der Mathematik wird dieses Objekt meistens in der Algebra und der Differentialgeometrie betrachtet. In der Physik hingegen spricht man zwar häufig von Tensoren, meint aber damit Tensorfelder. Ein Tensorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt des Raums einen Tensor zuordnet; viele physikalische Feldtheorien handeln von Tensorfeldern.

Einsteinsche Summenkonvention

Hauptartikel: Einsteinsche Summenkonvention

Insbesondere in der Tensoranalysis (einem Teilgebiet der Differentialgeometrie) und der Physik ist die einsteinsche Summenkonvention beliebt. Sie verkürzt die Schreibweise von Tensoren. Die Konvention besagt, dass Summenzeichen weggelassen werden können und dabei automatisch über Indizes summiert wird, welche einmal oben und einmal unten stehen. Ein einfaches Beispiel ist die Matrixmultiplikation. Seien $A,B$ zwei Matrizen mit den Komponenten $A_{ij}$ und $B_{kl}$. Dann lautet die Komponentendarstellung des Matrixproduktes

$(A*B)_{ij}=\sum _{k}A_{ik}B_{kj}.$

Mit der Einstein'schen Summenkonvention schreibt man

$(A*B)_{j}^{i}=A^{ik}B_{kj}.$

Ko- und Kontravarianz von Abbildungen

Da in diesem Artikel die Begriffe Ko- und Kontravariant oft auftauchen, werden sie, um die Begriffsbildung besser verstehen zu können, an dieser Stelle erstmal für lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen definiert. Sei dazu $V$ ein fester $K$-Vektorraum und $W$ ein beliebiger weiterer $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $f:W\to V$ heißt kovariant bezüglich $V$, eine lineare Abbildung $g:V\to W$ heißt kontravariant in $V$.

Eine Quelle der Verwirrung über diese Begriffe ist, dass in der Physik und älteren Lehrbüchern davon gesprochen wird, dass sich die Matrizen dieser Abbildungen ko- bzw. kontravariant unter Basiswechsel transformieren. Jedoch kehren sich dabei die Zuordnungen um – eine kovariante Abbildung hat eine Matrix, die kontravariant bzgl. Basiswechsel ist und umgekehrt.

Grundlegende Beispiele:

• Ein Vektor $v\in V$ ist mit der Abbildung $i:K\to V$ zu identifizieren, welche $K$ auf die Gerade $x\mapsto x\cdot v$ mit der Richtung $v$ abbildet. Ein Vektor ist also kovariant.

• Ein Kovektor $v^{*}\in V^{*}$ ist als lineares Funktional $v^{*}:V\to K$ definiert, somit ist er kontravariant in $V$.

Definition

(r,s)-Tensorraum

Mit $L(A;B)$ bezeichne man die Menge aller stetiger Linearformen von $A$ nach $B$. Sei $E$ ein K-Vektorraum und mit $E^{*}$ sein Dualraum bezeichnet. Setze nun

$T_{s}^{r}(E,K)=L^{r+s}(E^{*},\ldots ,E^{*},E,\ldots ,E;K)$

mit r Einträgen von $E^{*}$ und s Einträgen von $E$. Elemente dieser Menge heißen Tensoren, kontravariant der Stufe $r$ und kovariant der Stufe $s$. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ $(r,s)$. Die Summe r + s heißt Stufe oder Rang des Tensors.

Äußeres Tensorprodukt

Als (äußeres) Tensorprodukt bezeichnet man eine Verknüpfung $\otimes$ zwischen zwei Tensoren. Sei $E$ ein Vektorraum und seien $t_{1}\in T_{s_{1}}^{r_{1}}(E)$ und $t_{2}\in T_{s_{2}}^{r_{2}}(E)$ Tensoren, das (äußere) Tensorprodukt von $t_{1}$ und $t_{2}$ ist der Tensor $t_{1}\otimes t_{2}\in T_{s_{1}+s_{2}}^{r_{1}+r_{2}}(E)$, welcher durch

$\left(t_{1}\otimes t_{2})(\beta ^{1},\ldots \beta ^{r_{1}},\gamma ^{1},\ldots ,\gamma ^{r_{2}},f_{1},\ldots ,f_{s_{1}},g_{1},\ldots ,g_{s_{2}}\right):=t_{1}(\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{r_{1}},f_{1},\ldots ,f_{s_{1}})t_{2}(\gamma ^{1},\ldots ,\gamma ^{r_{2}},g_{1},\ldots ,g_{s_{2}})$

definiert ist. Hierbei sind $\beta ^{j},\gamma ^{j}\in E^{*}$ und $f_{j},g_{j}\in E$.

Beispiele

Im Folgenden seien $E$ und $F$ endlich dimensionale Vektorräume.

• Die Menge der (0,0)-Tensoren ist isomorph zum zugrunde liegenden Körper $K$, (0,1)-Tensoren entsprechen den Elementen des Vektorraums $E$ also $T_{1}^{0}(E)\cong E$ und (1,0)-Tensoren entsprechen den Linearformen auf $E$.

• Eine lineare Abbildung $E\to F$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen kann als Element von $E^{*}\otimes F$ aufgefasst werden.

• Eine Bilinearform $E\times E\to K$ lässt sich als ein Element von $E^{*}\otimes E^{*}$ auffassen also als einen (0,2)-Tensor. Insbesondere lassen sich also Skalarprodukte als (0,2)-Tensor auffassen.

• Die Determinante von $(n\times n)$-Matrizen, aufgefasst als alternierende Multilinearform der Spalten, ist ein (0,n)-Tensor.

• Das Kronecker-Delta $\delta$ ist wieder ein (0,2)-Tensor. Es ist ein Element von $E^{*}\otimes E^{*}$, und somit also eine lineare Abbildung $\delta :E\times E\to \mathbb {R}$. Lineare Abbildungen sind durch die Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt. So ist das Kronecker-Delta eindeutig durch

$\delta (e_{i},e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{falls }}i=j,\\0,&{\mbox{falls }}i\neq j,\end{matrix}}\right.$

bestimmt.

• Das Levi-Civita-Symbol oder auch Epsilontensor $\varepsilon _{ijk}$, welches zur Berechnung des Kreuzprodukts zwischen Vektoren verwendet werden kann, ist ein Tensor dritter Stufe. Es gilt $\varepsilon :(\mathbb {R} ^{3})^{*}\times (\mathbb {R} ^{3})^{*}\times (\mathbb {R} ^{3})^{*}\to \mathbb {R}$ . Man schreibt auch $\varepsilon (e_{i},e_{j},e_{k})=\varepsilon _{ijk}$. Da die Räume $\left(\mathbb {R} ^{3}\right)^{*}$ und $\mathbb {R} ^{3}$ natürlich isomorph sind, lässt man oftmals den Stern weg. Das Levi-Civita-Symbol kann man auch für n Dimensionen definieren. Sowohl das Kronecker-Delta als auch das Levi-Civita-Symbol werden häufig verwendet, um Symmetrieeigenschaften von Tensoren zu untersuchen. Das Kronecker-Delta ist symmetrisch bei Vertauschungen der Indizes, das Levi-Civita-Symbol antisymmetrisch, so dass man mit ihrer Hilfe Tensoren in symmetrische und antisymmetrische Anteile zerlegen kann.

• Ein weiteres Beispiel für einen Tensor 2. Stufe ist der Trägheitstensor.

• In der Elastizitätstheorie verallgemeinert man die hookesche Gleichung über den Zusammenhang zwischen Kräften und zugehörigen Dehnungen und Verzerrungen in einem elastischen Medium ebenfalls mit Hilfe der Tensorrechnung durch Einführung des Verzerrungstensors, der Verzerrungen, Deformationen beschreibt, und des Spannungstensors, der die die Deformationen verursachenden Kräfte beschreibt. Siehe dazu auch unter Kontinuumsmechanik nach.

• Sei $(V,g)$ ein metrischer Vektorraum. Die Metrik g ordnet zwei Vektoren v und w des Vektorraums V eine reelle Zahl $g(v,w)$ zu. Ist die Metrik eine lineare Abbildung in beiden Argumenten, so handelt es sich bei der Metrik g um einen Tensor. Genauer gesagt ist die Metrik g ein zweifach kovarianter Tensor. Eine solche Metrik g wird deshalb auch metrischer Tensor genannt. Mit $\,g_{ij}$ werden die Koordinaten der Metrik bezüglich einer Basis des Vektorraums V bezeichnet;$v^{i}$ und $w^{j}$ seien die Koordinaten der Vektoren v und w bezüglich derselben Basis. Für die Abbildung zweier Vektoren v und w unter der Metrik g gilt deshalb

$g(v,w)=\sum _{i,j}g_{ij}v^{i}w^{j}.$

Der Übergang zwischen ko- und kontravarianten Tensoren lässt sich mittels der Metrik durch

$x_{i}=\sum _{j}g_{ij}x^{j}$

bewerkstelligen.

Im Fall der allgemeinen Relativitätstheorie ist diese Metrik sogar meist von Punkt zu Punkt verschieden. In diesem Fall hängt diese Funktion noch von einer zusätzlichen Variablen, welche den Ort beschreibt, ab. Eine solches Objekt wird Tensorfeld genannt und weiter unten beschreiben. Dieser metrische Tensor heißt Riemann'sche Metrik. In der Relativitätstheorie verwendet man dabei statt der euklidischen Metrik die des Minkowskiraumes. Noch allgemeinere Metriken (allerdings mit derselben Signatur wie die Minkowski-Metrik) werden in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet. Im Fall der Relativitätstheorie ist dies ein (4,0)-Tensorfeld.

Tensoralgebra

Hauptartikel: Tensoralgebra

Sei $E$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Dann ist die Tensoralgebra

$\mathrm {T} (E)=\bigoplus _{n\geq 0}E^{\otimes n}=K\oplus E\oplus (E\otimes E)\oplus (E\otimes E\otimes E)\oplus \ldots$

Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird $\mathrm {T} V$ zu einer unitären assoziativen Algebra.

Basis

Basis & Dimension

Sei $E$ wie oben ein Vektorraum. Dann sind die Räume $T_{s}^{r}(E)$ ebenfalls wieder Vektorräume. Weiterhin sei $E$ nun endlichdimensional mit der Basis $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$. Die duale Basis wird mit $\{e^{1},\ldots ,e^{n}\}$ bezeichnet. Der Raum $T_{s}^{r}(E)$ der Tensoren ist dann ebenfalls endlichdimensional und

$\left\{\left.e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e^{j_{s}}\right|i_{1},\ldots ,i_{r},j_{1},\ldots ,j_{s}=1,\ldots ,n\right\}$

ist eine Basis dieses Raumes. Das heißt, jedes Element $t\in T_{s}^{r}(E)$ kann durch

$\sum _{i_{1},\ldots ,i_{r},j_{1},\ldots ,j_{s}=1,\ldots ,n}a_{j_{1},\ldots j_{s}}^{i_{1},\ldots ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e^{j_{s}}$

dargestellt werden. Die Dimension dieses Vektorraums ist $T_{s}^{r}(E)=n^{r+s}$. Wie in jedem endlich dimensionalen Vektorraum reicht es auch im Raum der Tensoren zu sagen, wie eine Funktion auf der Basis operiert.

Da die obige Summendarstellung sehr viel Schreibarbeit mit sich bringt, wird oftmals die Einstein'sche Summenkonvention verwendet. In diesem Fall schreibt man also

$a_{j_{1},\ldots j_{s}}^{i_{1},\ldots ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e^{j_{s}}.$

Oftmals identifiziert man die Komponenten des Tensors mit dem Tensor ansich. Siehe dafür unter Tensordarstellungen der Physik nach.

Basiswechsel und Koordinatentransformation

Seien ${e'_{i_{1}},\dots ,e'_{i_{n}}}$ und ${e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}}}$ jeweils unterschiedliche Basen der Vektorräume $V_{1},\dots ,V_{n}\$. Jeder Vektor, also auch jeder Basisvektor ${e'_{1_{1}}}$ kann als Linearkombination der Basisvektoren ${e_{i_{1}}}$ dargestellt werden. Der Basisvektor $e'_{i_{l}}$ werde dargestellt durch:

$e'_{i_{l}}=\sum _{j_{l}}a_{j_{l},i_{l}}e_{j_{l}}.$

Die Größen $a_{j_{l},i_{l}}$ bestimmen also die Basistransformation zwischen den Basen $e'_{i_{l}}$ und $e_{i_{l}}$. Das gilt für alle $l=1,\dots ,n$. Dieses Verfahren wird Basiswechsel genannt.

Ferner seien $T'_{{i_{1}},\dots ,{i_{n}}}$ die Koordinaten des Tensors $T$ bezüglich der Basis $e'_{i_{1}},\dots ,e'_{i_{n}}$. Dann ergibt sich für das Transformationsverhalten der Tensorkoordinaten die Gleichung

$T'_{{i_{1}},\dots ,{i_{n}}}=\sum _{j_{1}}\dots \sum _{j_{n}}a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}T_{{j_{1}},\dots ,{j_{n}}}.$

Es wird in der Regel zwischen der Koordinatendarstellung des Tensors $T'_{{i_{1}},\dots ,{i_{n}}}$ und der Transformationsmatrix $a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}$ unterschieden. Die Transformationsmatrix $a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}$ ist zwar eine indizierte Größe, aber kein Tensor. Im euklidischen Raum sind das Drehmatrizen und in der speziellen Relativitätstheorie z.B. Lorentz-Transformationen, die sich auch als „Drehungen“ in einem vierdimensionalen Minkowskiraum auffassen lassen. Man spricht in diesem Fall auch von Vierertensoren und Vierervektoren.

Operationen auf Tensoren

Neben dem Tensorprodukt gibt es für (r,s)-Tensoren weitere wichtige Operationen.

Inneres Produkt

Das interne Produkt eines Vektors $v\in E$ (bzw. eines (Ko)Vektors $\beta \in E^{*}$) mit einem Tensor $t\in T_{s}^{r}(E;K)$ ist der $(r,s-1)$ (bzw. $(r-1,s))$-Tensor, welcher durch

$(i_{v}t)\left(\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{r},v_{1},\ldots ,v_{s-1}\right)=t\left(\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{r},v,v_{1},\ldots ,v_{s-1}\right)$

bzw. durch

$(i^{\beta }t)\left(\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{r-1},v_{1},\ldots ,v_{s}\right)=t\left(\beta ,\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{r-1},v_{1},\ldots ,v_{s}\right)$

definiert ist.

Tensorverjüngung

Hauptartikel: Tensorverjüngung

Gegeben sei ein (r,s)-Tensor und $1\leq i\leq r$ und $1\leq j\leq s$. Die Tensorverjüngung $C_{j}^{i}$ bildet den Tensor

$\sum \beta _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \cdots \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes v^{j_{l}}\otimes \cdots \otimes v^{j_{s}}$

auf den Tensor

$C_{l}^{k}\left(\sum \beta _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \cdots \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes v^{j_{l}}\otimes \cdots \otimes v^{j_{s}}\right)=\sum \beta _{i_{k}}(v^{j_{l}})\cdot (\beta _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \beta _{i_{k-1}}\otimes \beta _{i_{k+1}}\otimes \cdots \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes v^{j_{l-1}}\otimes v^{j_{l+1}}\otimes \cdots \otimes v^{j_{s}})$

ab. Dieser Vorgang heißt Tensorverjüngung oder Spurbildung. Im Fall von (1,1)-Tensoren entspricht die Tensorverjüngung

$C_{1}^{1}:V^{*}\otimes V\to K$

unter der Identifizierung $V^{*}\otimes V\cong \mathrm {End} (V)$ der Spur eines Endomorphismus.

Mit Hilfe der Einstein'schen Summenkonvention kann man die Tensorverjüngung sehr kurz darstellen. Seien beispielsweise $T_{i}^{j}$ die Koeffizienten (bzw. Koordinaten) des zweistufigen Tensors T bezüglich einer gewählten Basis. Will man diesen (1,1)-Tensor verjüngen so schreibt man oft anstatt $C_{1}^{1}(T)$ nur die Koeffizienten $T_{i}^{i}$. Die einsteinsche Summenkonvention besagt nun, dass über alle gleichen Indizes summiert wird und somit $T_{i}^{i}$ ein Skalar ist, die mit der Spur des Endomorphismus übereinstimmt. Der Ausdruck $B_{i}{}^{j}{}_{i}$ ist hingegen nicht definiert, weil nur über gleiche Indizes summiert wird, wenn einer oben und einer unten steht. Hingegen ist also $B_{i}{}^{j}{}_{j}$ ein Tensor erster Stufe.

Pull-Back (Rücktransport)

Hauptartikel: Rücktransport

Sei $\phi \in L(E,F)$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, welche kein Isomorphismus zu sein braucht. Der Rücktransport von $\phi$ sei eine Abbildung $\phi ^{*}\in L(T_{s}^{0}(F=,T_{s}^{0}(E))$, welche durch

$\phi ^{*}t(f_{1},\ldots ,f_{s})=t(\phi (f_{1}),\ldots ,\phi (f_{s}))$

definiert ist. Dabei ist $t\in T_{s}^{0}(F)$ und $f_{1},\ldots ,f_{s}\in E$.

Push-Forward

Hauptartikel: Pushforward

Sei $\phi :E\to F$ ein Vektorraumisomorphismus. Definiere den Push-Forward von $\phi$ durch $\phi _{*}\in L(T_{s}^{r}(E),T_{s}^{r}(F))$ mit

$\phi _{*}t(\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{r},f_{1},\ldots ,f_{s})=t(\phi ^{*}(\beta ^{1}),\ldots ,\phi ^{*}(\beta ^{r}),\phi ^{-1}(f_{1}),\ldots ,\phi ^{-1}(f_{s})).$

Dabei ist $t\in T_{s}^{r}(E)$, $\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{r}\in F^{*}$ und $f_{1},\ldots ,f_{s}\in F$. Mit $\phi ^{*}(\beta ^{i})$ wird der Rücktransport der Linearform $\beta ^{i}$ notiert. Konkret heißt dies $\phi ^{*}(\beta ^{i}(.))=\beta ^{i}(\phi (.))$. Analog zum Rücktransport kann man beim Push-Forward auf die Isomorphie von $\phi$ verzichten und diese Operation nur für $(r,0)$-Tensoren definieren.

Tensorproduktraum

Hauptartikel: Tensorprodukt

In diesem Abschnitt werden Tensorprodukträume definiert. Diese werden typischerweise in der Algebra betrachtet. Diese Definition ist allgemeiner als die der (r,s)-Tensoren, da hier die Tensorräume aus unterschiedlichen Vektorräumen konstruiert werden können.

Die universelle Eigenschaft

Datei:Tensorprodukt.svg

Universelle Eigenschaft des Tensorprpduktes

Als Tensorprodukt der Vektorräume $V$ und $W$, das heißt als Vektorraum, in welchem die Tensorprodukte von Vektoren aus $V$ und $W$ „leben“, wird jeder Vektorraum $X$ (über dem gemeinsamen Körper von $V$ und $W$) bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung $\phi :V\times W\to X$ gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Jede weitere bilineare Abbildung $b:V\times W\to Y$ kann auf eindeutiger Weise zu einer linearen Abbildung auf $X$ erweitert werden. Exakt heißt dies, dass es eine einzige lineare Abbildung $b':X\to Y$ gibt, sodass für beliebige Paare von Vektoren

$b(v,w)=b'(\phi (v,w))$

gilt.

Gibt es einen solchen Vektorraum, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig. Es wird $X=V\otimes W$ und $\phi (v,w)=v\otimes w$ notiert. Die universelle Eigenschaft kann also als $b(v,w)=b'(v\otimes w)$ geschrieben werden. Zur Konstruktion solcher Produkträume sei auf den Artikel Tensorprodukt verwiesen.

Tensor als Element des Tensorproduktes

In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten.

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{s}$ Vektorräume über dem Körper $K$.

Das Tensorprodukt $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}$ von $V_{1},\ldots ,V_{s}$ ist ein $K$-Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form

$v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{s},\quad v_{i}\in V_{i},$

sind. Dabei gelten für diese Symbole die folgenden Rechenregeln:

• $v_{1}\otimes \cdots \otimes (v_{i}'+v_{i}'')\otimes \cdots \otimes v_{s}=(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i}'\otimes \cdots \otimes v_{s})+(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i}''\otimes \cdots \otimes v_{s})$
• $v_{1}\otimes \cdots \otimes (\lambda v_{i})\otimes \cdots \otimes v_{s}=\lambda (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i}\otimes \cdots \otimes v_{s}),\quad \lambda \in K$

Die Tensoren der Form $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{s}$ heißen elementar. Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht.

Ist $\{e_{i}^{(1)},\ldots ,e_{i}^{(d_{i})}\}$ eine Basis von $V_{i}$ (für $i=1,\ldots ,s$; $d_{i}=\dim V_{i}$), so ist

$\{e_{1}^{(j_{1})}\otimes \cdots \otimes e_{s}^{(j_{s})}\mid 1\leq i\leq s,1\leq j_{i}\leq d_{i}\}$

eine Basis von $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}.$ Die Dimension von $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}$ ist also das Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume $V_{1},\ldots ,V_{s}.$

Tensorprodukte und Multilinearformen

Der Dualraum von $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}$ kann mit dem Raum der $s$-Multilinearformen

$V_{1}\times \cdots \times V_{s}\to K$

identifiziert werden:

• Ist $\lambda \colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}\to K$ eine Linearform auf $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s},$ so ist die entsprechende Multilinearform

$(v_{1},\ldots ,v_{s})\mapsto \lambda (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{s}).$

• Ist $\mu \colon V_{1}\times \cdots \times V_{s}\to K$ eine $s$-Multilinearform, so ist die entsprechende Linearform auf $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}$ definiert durch

$\sum _{j=1}^{k}v_{1}^{(j)}\otimes \cdots \otimes v_{s}^{(j)}\mapsto \sum _{j=1}^{k}\mu (v_{1}^{(j)},\ldots ,v_{s}^{(j)}).$

Sind alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional, so kann man

$(V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s})^{*}\quad \mathrm {und} \quad V_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{s}^{*}$

miteinander identifizieren, d.h. Elemente von $V_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{s}^{*}$ entsprechen $s$-Multilinearformen auf $V_{1}\times \cdots \times V_{s}.$

Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie

Man kann das Tensorprodukt ${\mathcal {T}}^{2}V:=V\otimes V$ eines Vektorraumes V mit sich selbst bilden. Ohne weiteres Wissen über den Vektorraum kann ein Automorphismus des Tensorprodukts definiert werden, der darin besteht, in den reinen Produkten $a\otimes b$ die Faktoren zu vertauschen,

$\Pi _{12}(a\otimes b):=b\otimes a$.

Das Quadrat dieser Abbildung ist die Identität, woraus folgt, dass es Eigenvektoren zum Eigenwert 1 und zum Eigenwert -1 gibt.

• Ein $w\in V\otimes V$, welches $\Pi _{12}(w):=w$ erfüllt, heißt symmetrisch. Beispiele sind die Elemente

$w=a\otimes b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b+b\otimes a)$.

Die Menge aller symmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit ${\mathcal {S}}^{2}V=(1+\Pi _{12})(V\otimes V)$ bezeichnet.

• Ein $w\in V\otimes V$, welches $\Pi _{12}(w):=-w$ erfüllt, heißt antisymmetrisch oder alternierend. Beispiele sind die Elemente

$w=a\wedge b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b-b\otimes a)$.

Die Menge aller antisymmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit $\Lambda ^{2}V:=(1-\Pi _{12})(V\otimes V)$ bezeichnet.

Mittels ${\mathcal {T}}^{n+1}V:=V\otimes {\mathcal {T}}^{n}V$ können Tensorpotenzen von V beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So lässt sich jede Vertauschung der Stellen j und k auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen.

$\Pi _{jk}=\Pi _{1j}\circ \Pi _{1k}\circ \Pi _{1j}$

Injektives und projektives Tensorprodukt

→ Hauptartikel: Injektives Tensorprodukt und Projektives Tensorprodukt

Falls die Vektorräume, welche man miteinander tensorieren will, eine Topologie besitzen so ist es wünschenswert, dass ihr Tensorprodukt ebenfalls eine Topologie besitzt. Es gibt natürlich viele Möglichkeiten eine solche Topologie zu definieren. Das injektive beziehungsweise das projektive Tensorprodukt sind dafür jedoch eine natürliche Wahl.

Tensoren auf Mannigfaltigkeiten

Insbesondere in der Relativitätstheorie ist es notwendig, mit Tensoren auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten zu arbeiten.

Tensorbündel

Hauptartikel: Vektorbündel

Das Tensorbündel ist ein Vektorbündel, dessen Fasern (r,s)-Tensorräume $T_{s}^{r}(E)$ sind. Sei also $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\pi :TM\to M$ das Tangentialbündel mit der Fasern $T_{p}M=\pi ^{-1}(p)$ am Punkt $p\in M$. Die Räume $T_{p}M$ sind also insbesondere Vektorräume. Definiere

$T_{s}^{r}(TM)=\coprod _{p\in M}T_{s}^{r}(T_{p}M)=\bigcup _{p\in M}T_{s}^{r}(T_{p}M)\times \{p\}$

und $\pi _{s}^{r}:T_{s}^{r}(TM)\to M$ durch $\pi _{s}^{r}(e)=p$ mit $e\in T_{s}^{r}(T_{p}M)$. Das Symbol $\coprod$ heißt Koprodukt. In vielen Büchern wird $\times \{p\}$ im Ausdruck ganz rechts (wohl aus Bequemlichkeit) unterschlagen. Für eine Untermannigfaltigkeit $A\subset M$ ist das Tensorbündel definiert durch

$T_{s}^{r}(TM)|_{TA}=\coprod _{a\in A}T_{s}^{r}(T_{a}A)=\bigcup _{a\in A}T_{s}^{r}(T_{a}A)\times \{a\}.$

Die Menge $T_{s}^{r}(M):=T_{s}^{r}(TM)$ bzw. die Abbildung $\pi _{s}^{r}:T_{s}^{r}(TM)\to M$ werden Vektorbündel von Tensoren kontravariant der Stufe r und kovariant der Stufe s genannt. Kurz spricht man auch von dem Tensorbündel.

Tensorfeld

Hauptartikel: Tensorfeld

Sei $M$ eine differenzierebare Mannigfaltigkeit. Ein Tensorfeld vom Typ (r,s) ist ein glatter Schnitt im Tensorbündel $T_{s}^{r}(TM)$. Ein Tensorfeld ist also ein glattes Vektorfeld $M\to T_{s}^{r}(TM)$, welches jedem Punkt der Mannigfaltigkeit einen (r,s)-Tensor zuordnet. Die Menge der Tensorfelder wird mit $\Gamma ^{\infty }(T_{s}^{r}(TM))$ bezeichnet.

Beispiele

Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist ein Tensorfeld auf M eine Abbildung, die jedem Punkt einen Tensor zuordnet.

• Riemann'sche Metriken sind (2,0)-Tensorfelder.

• Der riemannsche Krümmungstensor ist ein (3,1)-Tensorfeld, das mithilfe der riemannschen Metrik als ein (4,0)-Tensorfeld aufgefasst werden kann.

• Differentialformen vom Grad k, insbesondere das totale Differential einer Funktion im Fall k=1, sind Schnitte von ${\bigwedge }\!{}^{k}\,\mathrm {T} ^{*}M\subseteq (\mathrm {T} ^{*}M)^{\otimes k}.$ Hierbei bezeichnet $T^{*}M$ das Kotensorbündel, welches Analog zum Tensorbündel bebildet wird, indem man über die Kotangentialräume vereinigt. Für weitere Informationen siehe auch unter Äußere Algebra nach.

• Der Energie-Impuls-Tensor $T^{\alpha \beta }$ und der elektromagnetische Feldstärketensor $F^{\alpha \beta }$ (als Beispiel eines Feldstärketensors) in der Relativitätstheorie sind Tensorfelder zweiter Stufe auf der vierdimensionalen Basis des Minkowski-Raums.

Literatur

• Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Birkhäuser, Basel 2004, ISBN 3-7643-2178-4, Kap. VII: Tensorrechnung.
• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7 (englisch). 
• Theodore Frankel: The Geometry of Physics -- An Introduction. Cambridge University Press 1997, Cambridge, ISBN 0-521-38334-X
• Teichmann Physikalische Anwendungen der Vektor- und Tensorrechnung, BI Hochschultaschenbuch
• Lichnerowicz Einführung in die Tensoranalysis, BI Hochschultaschenbuch 1966

Weblinks

• Über Tensoren, Matrizen und Pseudovektoren (PDF, 132 KB)
• Zur Visualisierung von Vektoren
• Englisches Online Buch über Tensoren und ihre Anwendung von Heinbockel