Faktorieller Ring

Ein faktorieller Ring ist eine mathematische Struktur in der Algebra, und zwar ein Integritätsring, in dem jedes Element $a\neq 0$ eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt.

Definition

Ein Integritätsbereich $A$ heißt faktoriell, wenn eine der drei folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist:

• (1) Jedes Element $a\neq 0$ besitzt eine im wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren.
• (2) Jedes Element $a\neq 0$ besitzt eine Zerlegung in ein Produkt von Primelementen, ggf. multipliziert mit einer Einheit. (Darstellungen als Produkt von Primelementen sind stets im wesentlichen eindeutig.)

Aufgrund der zweiten Charakterisierung spricht man auch von ZPE-Ringen ("Zerlegung in Prim-Elemente"; englisch: UFD unique factorization domain).

Zerlegung in irreduzible Faktoren

$a\in R$ hat eine Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenn a eine Darstellung

$a=\varepsilon \pi _{1}\pi _{2}\dots \pi _{r}$

mit einer Einheit $\varepsilon$ und irreduziblen Elementen $\pi _{i}$ hat. Diese Zerlegung ist im wesentlichen eindeutig, wenn bei jeder weiteren solchen Darstellung

$a=\varepsilon '\pi _{1}'\pi _{2}'\dots \pi _{r'}'$

gilt: $r=r'$ und $\pi _{i}{\hat {=}}\pi _{i}'$ (nach eventuellem Umnummerieren).

$\pi _{i}{\hat {=}}\pi _{i}'$ bedeutet: $\pi _{i}$ und $\pi _{i}'$ sind assoziiert.

Eigenschaften

• Irreduzible Elemente in faktoriellen Ringen sind prim. (Damit folgt auch die Äquivalenz der oben angegebenen Beschreibungen.)

Beispiele

• Hauptidealringe, wie z.B. $\mathbb {Z}$ oder $k[T]$ für einen Körper $k$

• Polynomringe und Ringe formaler Potenzreihen über einem Körper

• reguläre lokale Ringe

Gegenbeispiel

Ein Beispiel für einen Ring, in dem es eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt, die nicht eindeutig ist, ist der Ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$: In den beiden Produktdarstellungen

$6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$

sind die Faktoren jeweils irreduzibel, aber unter den vier Zahlen $2,3,1+{\sqrt {-5}},1-{\sqrt {-5}}$ sind keine zwei assoziiert. (Die Einheiten im Ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ sind $+1,-1$.)