Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen.

Im allgemeinen ist mit "Chi-Quadrat-Verteilung" die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Ihr einziger Parameter n muss eine natürliche Zahl sein und heißt ihre Freiheitsgrade. Die Chi-Quadrat-Verteilung ist die Verteilung der Summe

$X=Z_{1}^{2}+\ldots +Z_{n}^{2}$

von n unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen, in symbolischer Notation: Wenn

$Z_{k}\sim {\mathcal {N}}(0,1)\quad (k=1,\ldots ,n)$

und unabhängig sind, dann gilt

$X\sim \chi ^{2}(n).$

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine so genannte Stichprobenverteilung, die bei der Schätzung von Verteilungsparametern, beispielsweise der Varianz, Anwendung findet.

Dichte- und Verteilungsfunktion

Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist

$f(x)={\frac {x^{{\frac {n}{2}}-1}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\exp \left(-{\frac {x}{2}}\right)\quad 0<x<\infty$

und ihre Verteilungsfunktion

$F(x)=\Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {x}{2}}\right).$

Dabei steht $\Gamma (z)$ für die Gammafunktion und $\Gamma (a,z)$ für die regularisierte unvollständige Gammafunktion.

Dementsprechend ist die Chi-Quadrat-Verteilung ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist $X\sim \chi ^{2}(n)$, so gilt

$X\sim \Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$

Zusammenhang mit anderen Verteilungen

Aproximation durch die Normalverteilung

Gilt n ≥ 30, ist

$Z={\sqrt {2X}}-{\sqrt {2n-1}}$

näherungsweise standardnormalverteilt.

Für $n>100$ ist die Zufallsvariable X näherungsweise normalverteilt mit ${\mathcal {N}}\left(\mu =n,\sigma ={\sqrt {2n}}\right)\;$, wobei μ bzw. σ Erwartungswert und Standardabweichung darstellen.

Verwandtschaft mit der Exponentialverteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ=1/2. Dementsprechend ist eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 n Freiheitsgraden Erlang-verteilt mit n Freiheitsgraden und λ=1/2.

Eigenschaften

Der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung ist $n$.

Die Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung ist $2n$.

Der Modus der Chi-Quadrat-Verteilung ist $n-2$ für $n\geq 2$.

Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn die normalverteilten Zufallsvariablen nicht bezüglich ihres Erwartungswertes μ_i (i = 1, ... , n) zentriert sind, erhält man die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung. Sie hat als zweiten Parameter neben n den Nichtzentralitätsparameter

$\lambda =\sum _{i=1}^{n}{\mu _{i}}^{2}$.

Summe χ²-verteilter Zufallsvariablen

Sind $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ unabhängige Zufallsvariablen, mit $X_{i}\sim \chi ^{2}(\nu _{i})$, so gilt:

$\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \chi ^{2}(\sum _{i=1}^{n}\nu _{i})$

Bild der Dichtefunktion