Torus

Ein Torus ist ein Körper, der die Form eines Schwimmreifens besitzt.

Üblicherweise bezeichnet man mit Torus die Oberfläche des Reifens, während man den gefüllten Reifen als Volltorus bezeichnet.

Torustopologie

Abbildung einer quadratischen Fläche auf einen Torus

Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann der Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.

Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks oder Quadrates mit seiner linken Kante verheftet, und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. Diese Topologie besitzen auch viele Computerspiele, zum Beispiel Pacman oder das Game of Life.

Flach Schlauch Flach Zylinder Erklärung

Torus Länge X konstant Y variabel

Toruskoordinaten

Man kann in der Torusoberfläche, die topologisch eine Fläche von Geschlecht 1 ist (d.h. sie besitzt 1 Loch), eine toroidale Koordinate t und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate p einführen. Man kann sich die Oberfläche durch einen Kreis entstanden vorstellen, der um eine Achse, die in der Kreisebene liegt, rotiert wird. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir r, dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine Koordinatenlinie von p. Den Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse wird hier R genannt, die Koordinatenlinien von t sind Kreise um die Drehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von 0 bis 2π.

Datei:Toruskoordinaten.PNG

Eine mögliche Umrechnung in kartesische (dreidimensionale) Koordinaten ist (${\vec {X}}$ ist hier der Ortsvektor)

${\vec {X}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=R\cdot {\begin{pmatrix}cos(t)\\sin(t)\\0\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}cos(t)\cdot cos(p)\\sin(t)\cdot cos(p)\\sin(p)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\left[R+r\cdot cos(p)\right]cos(t)\\\left[R+r\cdot cos(p)\right]sin(t)\\r\cdot sin(p)\end{pmatrix}}$

Volumen und Oberfläche

Die nach außen zeigende Flächennormale ist in kartesischen Koordinaten

${\vec {n}}\ =\ {\frac {d{\vec {X}}}{dt}}\ \times \ {\frac {d{\vec {X}}}{dp}}\ =\ R\cdot r\cdot {\begin{pmatrix}cos(t)\cdot cos(p)\\sin(t)\cdot cos(p)\\sin(p)\end{pmatrix}}\ +\ r^{2}\cdot {\begin{pmatrix}cos(t)\cdot cos^{2}(p)\\sin(t)\cdot cos^{2}(p)\\sin(p)\cdot cos(p)\end{pmatrix}}$

Das Flächenelement ist

$dA=|{\vec {n}}|\cdot dt\cdot dp=r\cdot \ (r\cdot cos(p)+R)\cdot dt\cdot dp$

Durch Integration erhält man die Oberfläche des Torus:

$A_{O}=\int _{t=0}^{2\pi }\int _{p=0}^{2\pi }dA=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r$

Zur Berechnung des Volumens des Volltorus setzen wir statt r die Variable r' ein und lassen sie von 0 (zu Kreis entarteter Torus, kein Volumen) bis r variieren:

$V=\int _{r'=0}^{r}O(r')dr'=4\pi ^{2}\cdot R\ \int _{r'=0}^{r}r'dr'=2\pi ^{2}\cdot R\cdot r^{2}$

Da der Torus ein Rotationskörper ist, kann man Volumen und Oberfläche auch ohne Integration mittels der Guldinschen Regel berechnen.

Torus mit zunehmendem Ringdurchmesser

Ein Torus mit stetig zunehmendem Ringdurchmesser. So könnte es aussehen, wenn sich eine Schlange selbst frisst. Dieses Motiv wird auch Ouroboros genannt. Eine unendlich dünnwandige, kegelförmige Schlange könnte ihren Schwanz unendlich oft verschlucken, aber sie könnte ihr Maul niemals erreichen. Mathematisch betrachtet ist dies jedoch kein Torus, sondern ein speziell in den dreidimensionalen Raum eingebetteter unendlich langer Zylinder.

Höherdimensionale Tori

Beim 3-dimensionalen Torus oder 3-Torus handelt es sich um einen Quader oder Würfel, dessen 6 gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.

Beim 4-dimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt dessen 8 gegenüber liegenden Würfel paarweise mit einander verheftet sind.

Allgemein ist der $n$-dimensionale Torus ein n-dimensionaler Würfel $[0,1]^{n}$, dessen gegenüberliegende (n-1)-Hyperwürfel paarweise miteinander identifiziert sind. Man kann ihn auch als $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ darstellen.

Das (n+1) - dimensionale "Volumen" eines n-Torus ist

$2\cdot R\cdot r^{n}{\frac {\pi ^{{\frac {n}{2}}+1}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}$,

die n - dimensionale "Oberfläche"

$2\cdot n\cdot R\cdot r^{n-1}{\frac {\pi ^{{\frac {n}{2}}+1}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}$.

siehe auch: Rotationskörper