Nullteiler

In der Algebra ist ein Nullteiler eines kommutativen Ringes R ein vom Nullelement verschiedenes Element a, für das es ein Element b ungleich 0 gibt, so dass ab=0.

Ist R ein nichtkommutativer Ring und a ungleich 0, dann unterscheidet man stattdessen zwischen:

• Linksnullteiler: es gibt ein Element b ungleich 0, so dass ab=0
• Rechtsnullteiler: es gibt ein Element b ungleich 0, so dass ba=0
• (beidseitiger) Nullteiler: es gibt Elemente b,c ungleich 0, so dass ab=0, ca=0.

Ein Ring ohne einseitige oder beidseitige Nullteiler heißt nullteilerfrei.

Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 heißt Integritätsring.

Beispiele

Der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring $\mathbb {Z} ^{2}$ (mit komponentenweise Addition und Multiplikation) enthält die Nullteiler (0,1) und (1,0), denn (0,1)*(1,0)=(0,0).

Jeder Körper ist nullteilerfrei.

Der Restklassenring Z/6Z hat die Nullteiler 2 und 3, denn 2*3=0 mod 6.

Allgemein ist der Restklassenring Z/nZ nullteilerfrei (sogar ein Körper) genau dann, wenn n eine Primzahl ist.

Der Ring der reellen 2x2-Matrizen enthält den Nullteiler

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}$

denn

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

Allgemein sind die Nullteiler im Ring der n-mal-n-Matrizen über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen mit Determinante 0 (hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern).

Eigenschaften

Idempotente Elemente ungleich 1 eines Rings sind Nullteiler, denn aus a² = a folgt a*(a-1) = (a-1)*a = 0. Nilpotente Elemente ungleich 0 (x mit xⁿ = 0 für ein n aus N) sind trivialerweise Nullteiler.

Nullteiler sind keine Einheiten, denn wäre a invertierbar und ab=0, dann wäre 0=a^-10=a^-1ab=b.

In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement (1a=a1=a für alle a) gilt diese Aussage nur so: Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses. Jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. (Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach auch hier kein Inverses.)

Ist a ein Linksnullteiler, dann ist offensichtlich für jedes b das Produkt ba ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich Null. Das Produkt ab muss aber kein Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings R im Artikel Einheit (Mathematik), dessen Elemente A und B einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da AB = E die Einheitsmatrix ist).