Markow-Ungleichung (Stochastik)

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt die Markow-Ungleichung (nach Andrei Andrejewitsch Markow) eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable eine positive Konstante überschreitet.

Satz

Sei $(\Omega ,\sigma (\Omega ),P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ eine reelle Zufallsvariable und $a$ eine positive, reellwertige Konstante und ferner $h:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty [$ monoton wachsende Funktion. Die allgemeine Markow-Ungleichung besagt dann:

$P\left[X\geq a\right]\leq {\frac {{\textrm {E}}\left[h(X)\right]}{h(a)}}.$

Beweis

Sei $I_{A}(x)$ die charakteristische Funktion der Menge $A$. Dann gilt:

$P\left[X\geq a\right]=\int I_{\{X\geq a\}}\ dP\leq \int I_{\{X\geq a\}}{\frac {h(X)}{h(a)}}\ dP\leq {\frac {{\textrm {E}}\left[h(X)\right]}{h(a)}}$

Varianten

• Setzt man $h(x)=x$ und betrachtet die reelle Zufallsvariable $|X|$, so erhält man den bekannten Spezialfall der Markow-Ungleichung

$P\left[|X|\geq a\right]\leq {\frac {{\textrm {E}}\left[|X|\right]}{a}}.$

• Betrachtet man $a=c\cdot {\textrm {E}}[|X|]$ für ein $c>0$, so folgt der bekannte Spezialfall der Markow-Ungleichung, welcher die Wahrscheinlichkeit für das $c$-fache Übertreffen des Erwartungswertes begrenzt:

$P\left[|X|\geq c\cdot {\textrm {E}}[|X|]\right]\leq {\frac {{\textrm {E}}\left[|X|\right]}{c\cdot {\textrm {E}}\left[|X|\right]}}={\frac {1}{c}}.$

• Ist $h(x)=x^{2}$ und wendet man die Markow-Ungleichung auf eine Zufallsvariable $Y=X-{\textrm {E}}[X]$ an, so erhält man eine Version der Tschebyschow-Ungleichung.

• Für beschränkte Zufallsvariablen existiert die folgende Markow-artige Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable ihren Erwartungswert um den Faktor $(1-c)$ unterbietet. D.h., seien $a,b\geq 0$ und sei $X$ eine Zufallsvariable mit $|X|\leq a$ und ${\textrm {E}}\left[|X|\right]\geq {\frac {a}{b}}$. Dann gilt für alle $c>0$:

$P\left[|X|\leq (1-c){\textrm {E}}\left[|X|\right]\right]\leq 1-{\frac {c}{b}}.$

Der Beweis dieser Aussage ist ähnlich dem Beweis der Markow-Ungleichung.

• Wählt man $h(x)=e^{tx}$, erhält man für geeignetes t eine sehr gute Abschätzung. Mann kann zeigen, dass diese Abschätzung unter gewissen Voraussetzungen sogar optimal ist.

Beispiele

Betrachte die folgende Frage: Wie wahrscheinlich ist es, bei einem Würfelwurf wenigstens eine 4 zu würfeln? Es sei $X$ das Ergebnis des Würfelwurfes mit ${\textrm {E}}[X]=3{,}5$. Dann folgt mit $h(x)=x$ als identische Abbildung und mit $a=4$ durch die Markow-Ungleichung:

$P\left[X\geq 4\right]\leq {\frac {{\textrm {E}}\left[X\right]}{4}}={\frac {3{,}5}{4}}={\frac {7}{8}}$.

Siehe auch

• Tschebyschow-Ungleichung