Benutzer:Cum Deo/Artikelwünsche

Eulers alternierende Reihen stellen ein interessantes Paradoxon in der Mathematik dar. Sie befassen sich mit divergenten Reihen, die scheinbar konvergent sind. Desweiteren stellte Leonhard Euler dabei eine Beziehung zwischen den Reihen alternierender potenzierter natürlicher Zahlen und den Reihen alternierender potenzierter Reziproken natürlicher Zahlen. Eine Erklärung des Paradoxons liegt in der Umordnung von Reihen.

Die Reihe alternierender natürlicher Zahlen

Wenn man die Reihe

betrachtet stellt man fest, dass diese divergiert (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...).

Sei nun

$s=\lim _{n\to \infty }s_{n}$,

so erreicht man nach geeigneter Umordnung ${\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&+(-2+3+3-4)&+(3-4-4+5)&+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}$

die paradoxe Gleichung

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

Cauchy-Produkt

Eine ebenso paradoxe Gleichung, erzeugt die Grandi-Reihe

e_n=Σ(−1)^n= 1 − 1 + 1 − 1 + ... (1, 0, 1, 0, 1, 0, ...),

für die bei einer ähnlich eleganten Umordnung $\lim _{n\to \infty }e_{n}={\frac {1}{2}}$ gilt.
Entfernt man sich von der üblichen Definition einer Summe und betrachtet die Frage "Was sollte das Ergebnis dieser sein?", erhält man zwei mögliche Ergebnisse:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0 und

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Natürlich ist diese Herangehensweise ad absurdum zu führen, wenn man zeigt, dass

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …, also

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S ist.

Datei:Pm1234 Cauchy.svg

1 − 2 + 3 − 4 + … als Cauchyprodukt von 1 − 1 + 1 − 1 + …

Das Cauchyprodukt der Grandi-Reihe mit sich selbst, was dementsprechend ¼<--! anders darstellen --> ergeben muss, erzeugt

${\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}$als Partialsumme.

Die Reihe über c_n ist dann folglich

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .$

Eulers Potenzreihen

In Bemerkungen zu einer schönen Beziehung zwischen echten und reziproken Potenzreihen widmet Leonhard Euler seine ganze Aufmerksamkeit den beiden Reihen

$\sum _{k=1}^{\infty }k^{m}(-1)^{k-1}=1-2^{m}+3^{m}-4^{m}+\cdots$ (1)

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}(-1)^{k-1}=1-{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{3^{n}}}-{\frac {1}{4^{n}}}+\cdots$ (2),

wobei $m,n\in \mathbb {N}$ beliebig zu wählen sind.

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}=1-2+3-4+\cdots$

Literatur

• Leonhard Euler: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series (E 352). Hrsg.: The Euler Archive. Berlin 2006, S. 83 - 106 (E352.pdf [abgerufen am 4. Dezember 2009] französisch: Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques. Übersetzt von Lucas Willis and Thomas J Osler (en)).