Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete Axiomatisierung der Mengenlehre. Sie baut auf den Axiomen einer typenfreien Prädikatenlogik und zusätzlichen mengentheoretischen Axiomen auf, und ist nach Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel benannt. Sie ist heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik.

Dieses Axiomensystem ist das Ergebnis einer Arbeit von Thoralf Skolem 1922, die auf Arbeiten von Abraham Fraenkel aus dem gleichen Jahr basiert, welche wiederum auf dem Axiomensystem aufbaut, das Ernst Zermelo 1908 aufgestellt hatte (Zermelo-Mengenlehre).

Ohne Auswahlaxiom wird diese Mengenlehre meist mit ZF abgekürzt, mit Auswahlaxiom kürzt man es mit ZFC ab (engl. Zermelo-Fraenkel + Choice).

Die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sind Aussagen der Prädikatenlogik. Es gibt unendlich viele Axiome, denn es werden Axiomenschemata verwendet, das heißt ein Ausdruck, der zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften ein Axiom angibt.

• Extensionalitätsaxiom: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

$\forall A,B:A=B\iff \forall C:(C\in A\iff C\in B)$

• Axiom der leeren Menge: Es gibt eine Menge ohne Elemente.

$\exists B\,\forall A:\lnot (A\in B)$

Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit dieser Menge, das heißt dass es auch nicht mehr als eine solche Menge gibt. Diese wird meist als { } oder $\varnothing$ geschrieben und leere Menge genannt.

• Paarungsaxiom: Wenn A, B Mengen sind, dann gibt es eine Menge C, die genau A und B als Elemente hat.

$\forall A,B:\exists C:\forall D:D\in C\iff (D=A\lor D=B)$

Offenbar ist auch diese Menge C eindeutig bestimmt ist. Sie wird geschrieben als {A,B}. Die Menge {A,A} wird üblicherweise als {A} geschrieben.

• Vereinigungsaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von A sind.

$\forall A:\exists B:\forall C:C\in B\iff (\exists D:D\in A\land C\in D)$

Auch die Menge B ist eindeutig bestimmt und heißt die Vereinigung der Elemente von A, geschrieben als $\bigcup A$. Zusammen mit dem Paarungsaxiom lässt sich die Vereinigung $A\cup B:=\bigcup \{A,B\}$ definieren.

• Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x auch die Menge $x\cup \{x\}$ enthält.

$\exists A:\varnothing \in A\land (\forall x:x\in A\Rightarrow x\cup \{x\}\in A)$

Es gibt viele derartige Mengen. Der Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natürlichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s.u.). Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch

$\mathbb {N} \,:=\,\{\varnothing ,\,\{\varnothing \},\,\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\,\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\,,\ldots \}$

• Potenzmengenaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge P, deren Elemente genau die Teilmengen von A sind.

$\forall A:\exists \;P:\forall B:B\in P\iff (\forall C:C\in B\implies C\in A)$

Die Menge P ist eindeutig bestimmt. Sie heißt die Potenzmenge von A und wird mit ${{\mathcal {P}}(A)}$ bezeichnet.

• Regularitätsaxiom (auch Fundierungsaxiom): Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dass A und B disjunkt sind.

$\forall A:A\neq \varnothing \implies \exists B:B\in A\land \lnot \exists C:C\in A\land C\in B$

Das Element B, welches zu A disjunkt ist, ist im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.

• Aussonderungsaxiome: Dieses Axiomenschema umfasst zu jedem einstelligen Prädikat P ein Axiom: Zu jeder Menge A existiert eine Teilmenge von A die genau die Elemente C von A enthält, für die P(C) wahr ist.

Für jedes einstellige Prädikat P gilt: $\forall A:\exists B:\forall C:C\in B\iff C\in A\land P(C)$

Aus dem Extensionalitätsaxiom ergibt sich sofort, dass es genau eine solche Menge gibt. Diese wird mit $\{C\in A|P(C)\}$ notiert.

• Ersetzungsaxiome: Dieses Axiomenschema umfasst für jede prädikatenlogische Abbildung F ein Axiom. Eine Abbildung ist hier ein zweistelliges Prädikat F(X,Y), bei der es für jedes X genau ein Y gibt, so dass F(X,Y) gilt; dieses einzige Y wird dann gewöhnlich als Y=F(X) geschrieben. Abbildungen in diesem Sinne sind verschieden von Abbildungen im Sinne der Mengenlehre, die spezielle Mengen sind. Das Ersetzungaxiom besagt dann: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, deren Elemente genau die Bilder der Menge A unter der Abbildung F sind.

Für jede Abbildung F gilt: $\forall A:\exists B:\forall C:C\in B\iff \exists D:D\in A\land F(D,C)$

Die Menge B ist durch F und die "Definitionsmenge" A eindeutig bestimmt und wird mit $\{F(D)|D\in A\}$ bezeichnet.

Dieses Axiomenschema ist eine Verallgemeinerung des Aussonderungsaxioms, letzteres wird also durch das Ersetzungsaxiom (und das Axiom der leeren Menge) überflüssig.

• Auswahlaxiom: Ist A eine Menge von paarweisen disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von A enthält.
  Mit den restlichen Axiomen kann man die Äquivalenz des Auswahlaxioms mit dem Wohlordnungssatz und dem Lemma von Zorn ableiten. Die folgende Formel ist eine aussagenlogische Darstellung der obigen Formulierung des Auswahlaxioms:

$\forall A:((\varnothing \not \in A)\wedge \forall X:\forall Y:\forall Z:((X\in A\wedge Y\in A\wedge Z\in X\wedge Z\in Y)\Rightarrow (X=Y)))$

$\Rightarrow \;$

$\exists \ B:\forall X:(X\in A\Rightarrow \exists !\ Y:Y\in X\wedge Y\in B)$

Eine andere übliche Formulierung des Auswahlaxioms lautet: Ist A eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f, die jedem Element B von A ein Element von B zuordnet ("ein Element von B auswählt").