Diskussion:Spektrum (Operatortheorie)

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Ich würde diesen Artikel ganz anders aufbauen, denn die Definition des Spektrums im funktionalanalytischen Sinn also für unendlichdimensionale Räume ist leider falsch. Das Spektrum eines Operators ist nicht nur dadurch gegeben, dass das Inverse zu T-z nicht existiert. Des Weiteren muss man den Begriff Resolvente einführen. Außerdem finde ich es hinreichend verwirrend wenn man ständig mit Begriffen wie Algebren konfrontiert wird, es reicht davon auszugehen das ein linearer Operator eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über einem Körper K ( $\mathbb {C} ,\mathbb {R}$) mit jeweils einer Norm (=normierter Raum)ist und einen bestimten Wertebereich besitzt. Die zusätzliche Forderung nach assoziativer Struktur der Algebra ist für die Definition des Spektrums nicht notwendig. Die speziellen Erkenntnisse über Bannach Algebren sollten in einem extra artikel erwähnt werden. Außerdem ist die Definition des Spektrums für beschränkte und unbeschränkte Operatoren(unbeschränkte Operatoren können nicht auf dem gesamten Raum definiert werden, sondern nur auf dichten Teilräumen) gleich.

Vorsicht die Beispiele sind sehr ungenau, eine beliebige Funktion auf einem Gebiet muss nicht notwendigerweise ein Inverses besitzen. Eine in einem zusammenhängenden Gebiet definierte, stetige und streng monoton fallende oder steigende Funktion f besitzt ein Inverses. Daher ist erstes Beispiel schwierig, da man schnell zu falschen Aussagen hingerissen wird und weil keine wirkliche Erkenntnis dahinter steckt.

Ein weiterer Fehler ist es in diesen Artikel den Begriff Spektraltheorie einzuführen, mit diesem Begriff meint man die Darstellung eines linearen Operators mit Hilfe einer Spektralschar.

Mein Vorschlag: ______________________________________________________________________________________________________

Spektrum (Funktionalanalysis)

Der Begriff Spektrum eines Operators ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik. In der endlichdimensionalen linearen Algebra betrachtet man bei Matrizen ihre Eigenwerte.

Vergleich der Definitionen in der lineare Algebra und in der Funktionalanalysis

In der linearen Algebra werden endlichdimensionale Räume betrachtet, das Spektrum besteht ausschlieslich nur aus Eigenwerten. Eigenwerte sind Zahlen $\lambda$, für die das Inverse $(T-\lambda )^{-1}$ nicht existiert, d.h. der Operator $T-\lambda$ ist nicht injektiv. Betrachtet man jedoch unendlichdimensionale Räume enthält das Spektrum in der Regel Punkte, die keine Eigenwerte von T sind. Hier ist es notwendig zu betrachten ob der Operator $(T-\lambda )$ injektiv und oder surjektiv ist. Im endlichdimensionalen Fall folgt aus der Injektivität automatisch die Surjektivität, daher ist dieser Fall einfacher. Im folgenden wird der Begriff Spektrum in der Funktionalanalysis erläutert.

Motivaton

Die Idee der Definition des Spektrums und der Resolvente eines linearen Operators in einem Bannach Raum X geht auf die Untersuchung der Lösungen linearer Gleichungen, wie $(T-\lambda I)f(x)=g(x)$ wobei $g(x)\in X$ gegeben ist, $f(x)\in X$ gesucht wird und $\lambda \in \mathbb {C}$ gilt hervor(Hinweis I ist der Einheitsoperator). Die Lösung könnte einfach berechnet werden, wenn uns der Operator $(T-\lambda I)^{-1}$ bekannt wäre, nämlich $f(x)=(T-\lambda I)^{-1}g(x)$. Des Weiteren forderen wir an die Lösung ihre Eindeutigkeit und eine stetige Abhhängigkeit der Lösung von den gegebenen Größen, daher sollte das gesuchte Inverse beschränkt und überall definiert sein.

Definition des Spektrums und der Resolvente

Im folgenden betrachten wir einen linearen Operator definiert auf einem Bannach Raum X (ein vollständiger normierter Raum), es ist aber auch ohne weiteres möglich einen Operator auf einem Hilbert Raum (ein vollständiger Raum mit Skalarprodukt) zu betrachten. Eine zusätzliche Annahme ist die Struktur eines Bannach Raumes mit einer weiteren Operation zu versehen, damit wird eine sogenannte Bannach Algebra erzeugt.

Die Resolvente

Sei T ein linearer, im allgemeinen unbeschränkter Operator im Bannach Raum X. Die Resolventenmenge $\varrho (T)$ besteht aus allen komplexen Zahlen $\lambda$, so dass es einen auf dem gesamten Raum X definierten, beschränkten Operator $R_{\lambda }$ gibt mit $R_{\lambda }(T-\lambda I)=(T-\lambda I)R_{\lambda }=I$.

Der Operator $R_{\lambda }=(T-\lambda I)^{-1}$ heisst Resolvente des Operaors T.

Das Spektrum

Das Komplement zur Resolventenmenge ist das Spektrum eines Operators T und wird mit $\sigma (T)=\mathbb {C} |_{\varrho (T)}$ bezeichnet.

Das Spektrum lässt sich in verschiedene Komponenten untergliedern.

Das Punktspektrum

Wenn der Operator $T-\lambda I$ nicht injektiv ist, d.h. es existiert kein Inverses, dann ist $\lambda$ ein Element des Punktspektrums $\sigma _{p}(T)$ von T. Die Elemente des Punktspektrums werden Eigenwerte genannt.

Das stetige Spektrum

Wenn der Operator $T-\lambda I$ injektiv, jedoch nicht surjektiv ist, d.h. es existiert ein Inverses, das jedoch nur auf einem dichtem Teilraum des Bannachraumes X definiert ist, dann ist $\lambda$ ein Element des stetigem Spektrums $\sigma _{c}(T)$ von T.

Das Residualspektrum

Wenn der Operator $T-\lambda I$ injektiv, jedoch nicht surjektiv ist, d.h. es existiert ein Inverses, das jedoch nur auf einem NICHT DICHTEM Teilraum des Bannachraumes X definiert ist, dann ist $\lambda$ ein Element des Residualpektrums $\sigma _{r}(T)$ von T.

Besondere Eigenschaften für lineare beschränkte Operatoren

Eigenschaft 1: Die Resolventenmenge ist offen. D.h. für ein festes $\lambda _{0}\in \varrho (T)$ gilt für jedes $\lambda \in \varrho (T)$ $|\lambda -\lambda _{0}|<{\frac {1}{R_{\lambda _{0}}}}$

Da das Spektrum das Komplement der Resolvente ist, ist das Spektrum abgeschlossen.

Eigenschaft 2: Das Spektrum ist in dem Kreis $\{\lambda :|\lambda |\leq ||T||\}$ enthalten.

Eigenschaft 3: Für jeden linearen beschränkten (stetigen) Operator T auf einem komplexen Bannach Raum ist das Spektrum nicht leer und es kann der Spektralradius von T $r(T)=\sup\{\lambda :\lambda \in \sigma (T)\}=\lim _{n\longrightarrow \infty }||T^{n}||^{1/n}$ definiert werden (d.h. der Spektralradius ist der kleinste Kreis um den Nullpunkt der das Spektrum enthält).

Beispiele aus der Physik

Es kann z.b. der Hamiltonoperator H eines Elektrons im Wasserstoff-Atom betrachtet werden, die Eigenwert-Gleichung $H\phi =E\phi$ mit $\phi$ Zustandsvektor aus dem Hilbertraum liefert uns die Energieeigenwerte E des stationären quantenmechanischen Systems.

Lineare Algebra

Bsp1:

Die Funktionen auf einer beliebigen Menge M mit Werten in der komplexen Zahlenebene $\mathbb {C}$ bilden eine (assoziative) Algebra, d.h. einen Vektorraum mit zusätzlicher (assoziativer) Verknüpfung der Multiplikation, wobei die Summe zweier Funktionen und das Produkt zweier Funktionen punktweise definiert wird: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).$

Eine Funktion f heißt invertierbar, wenn es eine andere Funktion g gibt, so dass $f\cdot g=g\cdot f=1$ ( 1 Einsfunktion) ist.

Im einfachsten Fall ist $f(x)=h(x)-\lambda =0$ die Nullfunktion zu der es natürlich kein Inverses gibt und damit ist für die Funktion h(x) der Spektralwert $\lambda$.

Bsp2: Betrachtet man die n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen eine Algebra bezüglich der üblichen Addition und Skalarmultiplikation(komponentenweise) sowie der Matrixmultiplikation.

Eine Matrix A ist dabei genau dann invertierbar , wenn es eine Matrix B gibt, so dass A · B = B · A = 1 (Einheitsmatrix) ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante nicht verschwindet: det A ≠ 0.

Eine Zahl $\lambda \in \mathbb {C}$ ist ein Eigenwert, wenn $det(A-\lambda 1)=0$gilt. D.h. es existiert ein Eigenvektor x ungleich 0, so dass $Ax=\lambda x$ gilt. Dies entspricht dem charakteristischen Polynom der Matrix A in $\lambda$. In der linearen Algebra bezeichnet das Spektrum einer Matrix daher die Menge der Eigenwerte.

Funktionalanalysis

Bsp. Multiplikationsoperator:

Wir betrachten den Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen im Intervall [0,1] $L^{2}[0,1]$ und den Operator mit folgender Wirkung $(Tf)(x)=tf(x)$ wobei $f\in L^{2}[0,1]$.

Der Multiplikationsoperator T besitzt kein Punktspektrum, aber ein kontinuierliches Spektrum nämlich das Intervall [0,1].

Weiterführende Begriffe

Spektraltheorie ist die Theorie über die Darstellung eines linearen Operators mit Hilfe von Spektralscharen.

Spektrum eines Ringes

en:spectrum of an operator