Magisches Quadrat

Ein Magisches Quadrat ist eine quadratische Anordnung von Zahlen oder Buchstaben, wobei bestimmte Forderungen zu erfüllen sind.

Zahlenquadrate

Magisches Quadrat in Keilschrift

Ein magisches Quadrat mit Zahlen (auch Hexeneinmaleins) ist eine mathematische Knobelei, bei der eine bestimmte Menge von Zahlen, mit normalerweise fortlaufenden Werten, in einem Quadrat angeordnet werden. Dabei sollen die Summen aller Zeilen und Spalten gleich sein. Eine strengere Forderung ist, dass auch noch die Summen der Diagonalen mit den Zeilen- und Spaltensummen übereinstimmt. Ein Beispiel ist das Saturn-Siegel aus China mit der Summe 15:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

Magische Quadrate bilden mit der normalen Matrix-Addition (komponentenweise) und der Multiplikation mit reellen Zahlen einen Vektorraum. (Auf die Eigenschaft, dass die Zahlen fortlaufend sind, muss man dabei verzichten.)

Konstruktion magischer Quadrate

Zur Konstruktion magischer Quadrate gibt es verschiedene Verfahren. Das einfachste Verfahren funktioniert für alle magischen Quadrate mit ungerader Zahl von Feldern (also 3×3, 5×5, 7×7 etc.). Man fängt oben in der Mitte mit 1 an und füllt dann die anderen Zahlen der Reihe nach gemäß der folgenden Regel in die anderen Felder ein:

Wenn im Feld oben rechts vom zuletzt ausgefüllten Feld noch keine Zahl steht, dann trage die nächste Zahl dort ein, sonst trage die nächste Zahl im Feld unter der aktuellen Zahl ein.

Hierbei wird das magische Quadrat als periodisch wiederholt angesehen, d.h., wenn man über den oberen Rand hinausgeht (das passiert schon beim ersten Schritt), kommt man von unten wieder hinein, und wenn man rechts hinausgeht, dann kommt man von links wieder hinein. Hier ein nach dieser Regel konstruiertes 7x7-Quadrat:

30 39 48  1 10 19 28
38 47  7  9 18 27 29
46  6  8 17 26 35 37
 5 14 16 25 34 36 45
13 15 24 33 42 44  4
21 23 32 41 43  3 12
22 31 40 49  2 11 20

Für ein n×n-magisches Quadrat (für ungerade n) ist die Summe einer Zeile, Spalte oder Diagonale gleich:

$Summe=1/2*n^{3}+1/2*n$

Beispiele:

3×3: $15=1/2*3^{3}+1/2*3$

7×7: $175=1/2*7^{3}+1/2*7$

4711×4711: $52276841071=1/2*4711^{3}+1/2*4711$

Buchstabenquadrate

Ein magisches Buchstabenquadrat ist eine Denksportaufgabe, wo in den Zeilen und Spalten des Quadrats jeweils gleiche Wörter in Zeilen und Spalten entstehen.

S A T O R
A R E P O
T E N E T
O P E R A
R O T A S

(Sator-Quadrat)

Bildende Kunst

• Albrecht Dürer: Melencolia I (Holzschnitt)

siehe auch: Magischer Würfel, Magisches Klangquadrat, Liste lateinischer Palindrome, Liste griechischer Magischer Quadrate