Mengenlehre

Dieser Artikel wird gerade gründlich überarbeitet und ist derzeit noch im Rohbau.

Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Stochastik oder Topologie werden auf der Mengenlehre aufgebaut. Darüber hinaus gibt es wichtige Verbindungen zur Prädikatenlogik.

Dieser Artikel befasst sich mit der mathematischen Theorie der Mengen. Eine erste Einführung in die Begriffe der Mengenlehre findet sich unter Menge (Mathematik).

Geschichte

Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die von Cantor eingeführte naive Mengenlehre führte jedoch schon bald zu unlösbaren Widersprüchen (Russellsche Antinomie).

Die axiomatische Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) verzichtet deshalb auf eine Definition des Begriffs Menge und benutzt ihn als Grundbegriff. Eine Menge wird durch die Angabe aller Elemente bzw. ihrer Grundeigenschaften festgelegt. Die einzige Grundrelation ist $\in$ (gesprochen Element von), z.B. x $\in$ M, wenn x als Element in M enthalten ist. In vielen Artikeln dieser Enzyklopädie verwenden wir die Schreibweise "x in M" oder "x aus M", manchmal auch das HTML-Zeichen ∈, welches jedoch von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt wird.

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

Neue Mathematik

Gegen Ende der 1960er Jahre wurde die Mengenlehre in die Grundschulen eingeführt, nach wenigen Jahren aber zugunsten des traditionellen Rechenunterrichts wieder abgeschafft. Siehe dazu den Artikel "Neue Mathematik".

Zum besseren Verständnis der Mengenlehre werden sog. Venn-Diagramme (bzw. Mengendiagramme) benutzt.

Definitionen

Seien $\mathbb {X}$ eine Menge, $\Lambda$ eine beliebige Indexmenge und $A$ , $B$ und $A_{\lambda }$ für alle $\lambda \in \Lambda$ beliebige Teilmengen der Menge $\mathbb {X}$ .

Teilmenge (Inklusion, Obermenge): ${A}\subseteq {B}$ (A ist Teilmenge von B, oder auch B ist Obermenge von A), wenn jedes Element von A auch Element von B ist, d.h. A ist enthalten in oder gleich B. In Prädikatenlogik: ${A}\subseteq {B}:\Longleftrightarrow \forall x\in {\mathbb {X} }:\left(\left({x}\in A\right)\Rightarrow \left({x\in B}\right)\right)$ .

Echte Teilmenge: ${A}\subset {B}$ (A ist echte Teilmenge von B oder B ist echte Obermenge von A), wenn die Menge A enthalten in B, aber ungleich B ist: ${A}\subset {B}:\Longleftrightarrow \left({A}\subseteq {B}\right)\wedge \left({A}\neq {B}\right)$

Schnittmenge:
- Die zweistellige Schnittmenge ${A}\cap {B}:=\{x\in \mathbb {X} \mid \left(x\in {A}\right)\land \left(x\in {B}\right)\}$ (A geschnitten mit B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
- Die Schnittmenge beliebig vieler Mengen $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:=\{x\in \mathbb {X} \mid \forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\}$ ist die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen $A_{\lambda }$ enthalten sind.
- Die elementweise Schnittmenge $\bigcap A:=\{x\in \mathbb {X} \mid \forall a\in A:x\in a\}$ .

Vereinigungsmenge:
- Die zweistellige Vereinigungsmenge ${A}\cup {B}:=\{x\in \mathbb {X} \mid \left(x\in {A}\right)\lor \left(x\in {B}\right)\}$ (A vereinigt mit B) ist die Menge der Elemente, die in A oder in B oder beiden Mengen liegen.
- Die Vereinigungsmenge beliebig vieler Mengen $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:=\{x\in \mathbb {X} \mid \exists \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\}$ ist die Menge aller Elemente, die in mindestens einer Menge $A_{\lambda }$ enthalten sind.
- Die elementweise Vereinigungsmenge $\bigcup A:=\{x\in \mathbb {X} \mid \exists a\in A:x\in a\}$ .

Komplement: $\complement {A}:=\{x\in \mathbb {X} \mid x\not \in A\}$ bezeichnet das Komplement von $A$ in $\mathbb {X}$ , das ist die Menge aller Elemente von $\mathbb {X}$ , die nicht in A liegen.

Differenzmenge: ${A}\setminus {B}=\{x\in \mathbb {X} \mid \left(x\in A\right)\land \left(x\not \in B\right)\}$ (A ohne B) ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B

symmetrische Differenz: ${A}\,\triangle \,{B}:=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right)$ ist die Menge aller Elemente, die in einer aber nicht in beiden der gegebenen Mengen liegen

Mächtigkeit: $\left|A\right|$ bezeichnet die Mächtigkeit (auch Kardinalität) der Menge $A$ , also die Anzahl der Elemente von $A$ . Für eine endliche Menge ist die Mächtigkeit eine natürliche Zahl; bei unendlichen Mengen unterscheidet man nach verschiedenen Graden der Unendlichkeit. Diese werden als Kardinalzahlen bezeichnet.

Leere Menge: Die leere Menge enthält kein Element und wird mit $\emptyset$ oder auch $\{\}$ bezeichnet.

Potenzmenge: Die Potenzmenge ${\mathcal {P}}\left({A}\right)$ ist die Menge aller Teilmengen von ${A}$ .

Produktmenge oder kartesisches Produkt
- Die zweistellige Produktmenge $A\times B:=\{\left(a,b\right)\mid a\in A\land b\in B\}$ ist die Menge aller geordneten Paare, die sich aus den Mengen $A$ und $B$ bilden lassen.
- Die Produktmenge beliebig vieler Mengen $\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:=\{f:\Lambda \to \mathbb {X} \mid \forall \lambda \in \Lambda :f\left(\lambda \right)\in A_{\lambda }\}$ ist die Menge aller Abbildungen, die einem Indexelement $\lambda$ ein Element der Menge $A_{\lambda }$ zuordnen.

Anmerkungen

Die Symbole für Teilmenge und echte Teilmenge wurden in Anlehnung an die Zeichen $<$ und $\leq$ gewählt. Diese Bezeichnung ist aber nicht immer einheitlich: In manchen Texten ist bei dem Zeichen $\subset$ auch die Gleichheit der beiden Mengen zugelassen. In diesem Fall ist für die Auszeichnung einer echten Teilmenge etwa das Symbol ${B}\subsetneq {A}$ gebräuchlich.

Für die Bezeichnung des Komplements einer Menge $A$ gibt es einige Varianten: Es wird gelegentlich auch durch ${\overline {A}}$ , $A^{C}$ oder $A^{'}$ symbolisiert.

Die Potenzmenge einer Menge $A$ wird mitunter auch mit $2^{A}$ bezeichnet. Diese Notation ist durch die Eigenschaft $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$ einer endlichen Menge A motiviert, welche unter Einbeziehung der Arithmetik der Kardinalzahlen dann auch für beliebige unendliche Mengen gilt.

$\in$ , $\subset$ und $\subseteq$ sind Relationen. Die Negation dieser Relationen kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch $\notin$ . Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von $x\in A$ auch $A\ni x$ , anstelle von $A\subseteq B$ auch $B\supseteq A$ und anstelle von $A\subset B$ auch $B\supset A$ geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.

Die leere Menge kann – wie jede andere Menge auch – Element einer Menge sein: Die beiden Mengen $\emptyset$ und $\{\emptyset \}$ sind verschieden.

Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge. Deshalb tritt sie als Element jeder Potenzmenge auf; jede Potenzmenge umfasst mindestens dieses eine Element.

Für eine endliche, nicht leere Indexmenge $\Lambda =\{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\}$ gilt $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=A_{\lambda _{1}}\cap A_{\lambda _{2}}\cap \cdots \cap A_{\lambda _{n}}$ und $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=A_{\lambda _{1}}\cup A_{\lambda _{2}}\cup \cdots \cup A_{\lambda _{n}}$ . Die Definitionen für den zweistelligen Fall und den Fall beliebig vieler Mengen sind also zueinander konsistent.

Es gilt $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\bigcap \{A_{\lambda }\mid \lambda \in \Lambda \}$ und $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\bigcup \{A_{\lambda }\mid \lambda \in \Lambda \}$ .

Für den leeren Schnitt liefert die Definition $\bigcap _{\lambda \in \emptyset }A_{\lambda }=\bigcap \emptyset =\mathbb {X}$ , für die leere Vereinigung $\bigcup _{\lambda \in \emptyset }A_{\lambda }=\bigcup \emptyset =\emptyset$ und für die leere Produktmente $\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\emptyset$

Die Mengen $\left(A_{\lambda _{1}}\times A_{\lambda _{2}}\right)\times A_{\lambda _{3}}$ und $A_{\lambda _{1}}\times \left(A_{\lambda _{2}}\times A_{\lambda _{3}}\right)$ sind nicht gleich, aber durch die Bijektion $((a,b),c)\mapsto (a,(b,c))$ zueinander isomorph. In der Regel wird deshalb nicht zwischen diesen beiden Mengen unterschieden. Diese Assoziativität bis auf Isomorphie erlaubt es, beliebige Produktengen aus einer endlichen Anzahl $n$ von Mengen $A_{\lambda _{i}}:i\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq n$ mit der Menge der n-Tupel zu identifizieren und ohne Rücksicht auf die konkrete Klammerung mit $A_{\lambda _{1}}\times A_{\lambda _{2}}\times \cdots \times A_{\lambda _{n}}$ zu bezeichnen.

Für das Mengenprodukt aus identischen Faktoren gibt es abkürzende Schreibweisen:
- Anstelle des n-fachen endlichen Mengenprodukts $A\times A\times \cdots \times A$ schreibt man auch $A^{n}$ .
- Das unendliche Mengenprodukt $\prod _{\lambda \in \Lambda }A$ ist kanonisch isomorph zur Menge aller Abbildungen $\Lambda \rightarrow A$ . In Analogie zum endlichen Fall wird dafür die Schreibweise $A^{\Lambda }$ benutzt.

Die Mengen $A_{\lambda _{1}}\times A_{\lambda _{2}}$ und $\prod _{\lambda \in \{\lambda _{1},\lambda _{2}\}}A_{\lambda }$ sind nicht gleich, aber durch die Bijektion $(a,b)\mapsto f_{a,b}$ mit $f_{a,b}:\{\lambda _{1},\lambda _{2}\}\to \mathbb {X}$ , $\lambda _{1}\mapsto a$ , $\lambda _{2}\mapsto b$ zueinander isomorph. Die Definition der zweistelligen Produktmenge ist also mit der Definition der Produktmenge beliebig vieler Mengen konsistent, weshalb für eine endliche nichtleere Produktmenge $\Lambda =\{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\}$ in der Regel auch nicht zwischen $\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }$ und $A_{\lambda _{1}}\times A_{\lambda _{2}}\times \cdots \times A_{\lambda _{n}}$ unterschieden wird.

Beispiele

Wir betrachten die Mengen $\mathbb {X} =\{1,2,3\}$ , $A=\{1,2\}$ und $B=\{1,3\}$ . Es gelten:

$2\in A$ , $2\notin B$
$A\subseteq \mathbb {X}$ , $B\subseteq \mathbb {X}$ , $\mathbb {X} \subseteq \mathbb {X}$
$A\subset \mathbb {X}$ , $B\subset \mathbb {X}$
$A\cap B=\{1\}$
$A\cup B=\mathbb {X}$
$\complement {A}=\{3\}$ , $\complement {B}=\{2\}$ , $\complement {\mathbb {X} }=\emptyset$ , $\complement {\emptyset }=\mathbb {X}$
$A\setminus B=\{2\}$ , $B\setminus A=\{3\}$ , $\mathbb {X} \setminus A=\{3\}$ , $A\setminus \mathbb {X} =\emptyset$
$A\triangle B=\{2,3\}$ , $A\triangle \mathbb {X} =\{3\}$ , $B\triangle \mathbb {X} =\{2\}$
$\left|\mathbb {X} \right|$ = 3, $\left|A\right|$ = 2, $\left|\emptyset \right|$ = 0, $\left|\{\emptyset \}\right|$ = 1
${\mathcal {P}}\left(A\right)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
${\mathcal {P}}\left(\mathbb {X} \right)=\{\emptyset ,A\cap B,\complement B,B\setminus A,A,B,A\triangle B,A\cup B\}$
$A\times B=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}$ , $A\times \{3\}=\{(1,3),(2,3)\}$ , $A^{2}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$ , $\{3\}^{3}=\{(3,3,3)\}$
$\emptyset \notin \emptyset$ , $\emptyset \in \{\emptyset \}$
${\mathcal {P}}\left(\emptyset \right)=\{\emptyset \}$ , ${\mathcal {P}}\left(\{\emptyset \}\right)=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$
$A\times \emptyset =\emptyset \times A=\emptyset$
$\mathbb {N} ^{+}\subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

Gesetzmäßigkeiten

Die Menge ${\mathcal {P}}\left(\mathbb {X} \right)$ ist bezüglich der Relation $\subseteq$ partiell geordnet, denn für alle $A,B,C\subseteq \mathbb {X}$ gilt:

Reflexivität: $A\subseteq A$

Antisymmetrie: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$ folgt $A=B$

Transitivität: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ folgt $A\subseteq C$

Die Mengen-Operationen Schnitt $\cap$ und Vereinigung $\cup$ sind zueinander kommutativ, assoziativ und distributiv:

Kommutativgesetz: $A\cup B=B\cup A$ , $A\cap B=B\cap A$

Assoziativgesetz: $\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$ , $\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right)$

Distributivgesetz: $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$ , $A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$

De Morgansche Gesetze: $\complement (A\cup B)=\complement {A}\cap \complement {B}$ , $\complement {(A\cap B)}=\complement {A}\cup \complement {B}$

Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

Distributivgesetze: $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)$ , $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$ , $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$ und $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$