Extremwert

In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Überbegriff für lokale und globale Maxima und Minima. Ein globales Maximum einer Funktion ist der größte Wert, den die Funktion annimmt. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. Lokale und globale Minima sind analog definiert.

Eindimensionaler Fall

Formale Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge (z.B. ein Intervall) und $f\colon U\to \mathbb {R}$ eine Funktion.

Man sagt:

• $f$ hat an der Stelle $x_{0}$ ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall $(a,b)$ gibt, das $x_{0}$ enthält, und so dass $f(x_{0})\leq f(x)$ für alle $a<x<b$ gilt.
• $f$ hat an der Stelle $x_{0}$ ein globales Minimum, wenn $f(x_{0})\leq f(x)$ für alle $x$ gilt.
• $f$ hat an der Stelle $x_{0}$ ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall $(a,b)$ gibt, das $x_{0}$ enthält, und so dass $f(x_{0})\geq f(x)$ für alle $a<x<b$ gilt.
• $f$ hat an der Stelle $x_{0}$ ein globales Maximum, wenn $f(x_{0})\geq f(x)$ für alle $x$ gilt.

Existenz von Extrema

Ist $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion, so besitzt $f$ auf $[a,b]$ ein Maximum und ein Minimum. Diese können auch in den Randpunkten $a$ oder $b$ angenommen werden.

Diese Aussage folgt aus dem Satz von Heine-Borel, wird aber oft auch nach K. Weierstraß oder B. Bolzano benannt.

Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen

Es sei $U\subseteq \mathbb {R}$ offen, und $f\colon U\to \mathbb {R}$ sei differenzierbar.

Notwendiges Kriterium

Hat $f$ an einer Stelle $x_{0}$ ein lokales Extremum, so verschwindet die Ableitung:

$f'(x_{0})=0.$

Hinreichende Kriterien

• Ist $f$ zweimal differenzierbar, und gilt $f''(x_{0})\neq 0$, so hat $f$ ein lokales Extremum. Ist $f''(x_{0})>0$, so handelt es sich um ein lokales Minimum, ist $f''(x_{0})<0$, um ein lokales Maximum.

• Allgemeiner: $f$ sei $(n+1)$-mal differenzierbar, und es gelte

$f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{(n)}(x_{0})=0$ und $f^{(n+1)}(x_{0})\neq 0.$

Dann gilt:

(1) Falls $n$ ungerade ist und $f^{(n+1)}(x_{0})<0$ (bzw. $f^{(n+1)}(x_{0})>0$), so hat $f$ bei $x_{0}$ ein relatives Maximum (bzw. Minimum).

(2) Falls $n$ gerade ist, so hat $f$ bei $x_{0}$ kein lokales Extremum.

(Man vergleiche hierzu Funktionen der Form: $f(x)=x^{n}$, $n\in \mathbb {N}$.)

• Hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel bei $x_{0}$, so liegt ein Extremum vor. Bei einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus handelt es sich um ein Maximum, bei einem Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus um ein Minimum.

• Zwischen zwei lokalen Minima einer Funktion liegt stets ein lokales Maximum, und zwischen zwei lokalen Maxima liegt stets ein lokales Minimum.

• Gibt es zwei Stellen $a,b$ mit $a<x_{0}<b$, so dass die erste Ableitung im Intervall $(a,b)$ nur die Nullstelle $x_{0}$ hat, und ist $f(a)>f(x_{0})$ sowie $f(b)>f(x_{0})$, so hat $f$ bei $x_{0}$ ein lokales Minimum. Gilt die analoge Bedingung mit $f(a)<f(x_{0})$ und $f(b)<f(x_{0})$, so hat $f$ bei $x_{0}$ ein lokales Maximum.

Es gibt allerdings exotische Funktionen, für die keines dieser Kriterien weiterhilft.

Beispiele

• $f(x)=x^{2}+3.$ Die erste Ableitung $f'(x)=2x$ hat nur bei $x_{0}=0$ eine Nullstelle. Die zweite Ableitung $f''(x)=2$ ist dort positiv, also nimmt $f$ bei 0 ein lokales Minimum an, nämlich $f(0)=3$.

• $f(x)=x^{4}+3.$ Die erste Ableitung $f'(x)=4x^{3}$ hat nur bei $x_{0}=0$ eine Nullstelle. Die zweite Ableitung $f''(x)=12x^{2}$ ist dort ebenfalls 0. Man kann nun auf verschiedene Arten fortfahren:

• Auch die dritte Ableitung $f'''(x)=24x$ ist dort 0. Die vierte Ableitung hingegen ist mit $f^{(4)}(x)=24$ die erste höhere Ableitung, die nicht 0 ist. Da diese Ableitung einen positiven Wert hat und die vorherige Ableitung ungerade ist, gilt nach (1), dass die Funktion dort ein lokales Minimum besitzt.
• Die erste Ableitung hat bei 0 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus, also hat $f$ bei $x_{0}=0$ ein lokales Minimum.

• Die Funktion, die durch $f(x)=\mathrm {e} ^{-1/x^{2}}\sin ^{2}{\frac {1}{x^{2}}}$ für $x\neq 0$ und durch $f(0)=0$ definiert ist, hat die folgenden Eigenschaften:
  • Sie hat bei $x=0$ ein globales Minimum.
  • Sie ist beliebig oft differenzierbar.
  • Alle Ableitungen bei $x=0$ sind gleich 0.
  • Die erste Ableitung hat keinen Vorzeichenwechsel bei 0.
  • Auch die anderen beiden oben genannten Kriterien sind nicht anwendbar.

Anwendungsbeispiel

In der Praxis können Extremwert-Berechnungen zur Berechnung von größt- oder kleinstmöglichen Vorgaben verwendet werden , wie das folgende Beispiel zeigt (siehe auch Optimierungsproblem):

• Wie muss eine rechteckige Fläche aussehen, die bei einem bestimmten Umfang eine maximale Fläche hat?

Lösungsweg:

Der Umfang $U$ ist konstant, die Fläche $A$ soll maximiert werden, $a$ ist die Länge und $b$ die Breite:

$1)\qquad U=2(a+b)\Rightarrow b={\frac {U}{2}}-a$

$2)\qquad A=a\cdot b$

1) in 2) einsetzen und umformen

$A(a)=-a^{2}+{\frac {1}{2}}Ua$

Ableitungsfunktionen bilden

$A'(a)=-2a+{\frac {1}{2}}U$

$A''(a)=-2\qquad \Rightarrow$ Hochpunkt der Funktion

Es gibt nur ein globales Maximum, da die zweite Ableitung unabhängig von der Variablen immer kleiner als Null ist.

Um einen Extremwert zu finden muss die erste Ableitung gleich Null gesetzt werden (da diese die Steigung der ursprünglichen Funktion beschreibt und diese Steigung bei Extremwerten Null ist. Die zweite Ableitung der Funktion muss ungleich Null sein, damit ein Minimum oder Maximum vorliegt).

$A'(a)=-2a+{\frac {1}{2}}U=0\Rightarrow$

$a={\frac {1}{4}}U\ \Rightarrow \ U=4a$

Einsetzen in 1)

$4a=2(a+b)\ \Rightarrow \ a=b$

Es folgt daraus, dass der größtmögliche Flächeninhalt eines Rechtecks bei vorgegebenen Umfang dann zu erzielen ist, wenn beide Seitenlängen gleich sind (was einem Quadrat entspricht).

Mehrdimensionaler Fall

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $f\colon U\to \mathbb {R}$ eine Funktion. Dann ist analog zum eindimensionalen Fall das Verschwinden der Ableitung $Df=(\mathrm {grad} \,f)^{T}$ eine notwendige Bedingung. Hinreichend ist in diesem Fall die Definitheit der Hesse-Matrix $D^{2}f$: ist sie positiv definit, liegt ein Minimum vor, ist sie negativ definit, handelt es sich um ein Maximum. In der Praxis ist dieses Kriterium jedoch unhandlich, da die Definitheit einer Matrix im Allgemeinen nur schwer nachzuweisen ist.

Andere Extremwerte

Diskrete Optimierung

Bei diskreten Optimierungsproblemen ist der oben definierte Begriff des lokalen Extremums nicht geeignet, da in jedem Punkt ein lokales Extremum in diesem Sinne vorliegt. Für Extrema einer Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ wird von daher ein anderer Umgebungsbegriff verwendet: Man benutzt eine Nachbarschaftsfunktion $N$, die jedem Punkt die Menge seiner Nachbarn zuordnet,

$N\colon D\to {\mathfrak {P}}(D);$

dabei steht ${\mathfrak {P}}(D)$ für die Potenzmenge von $D$.

$f$ hat dann ein lokales Maximum in einem Punkt $x_{0}\in D$, wenn $f(x)\leq f(x_{0})$ für alle Nachbarn $x\in N(x_{0})$ gilt. Lokale Minima sind analog definiert.

Variationsrechnung

Extremwerte von Funktionen, deren Argumente selbst Funktionen sind, sind Gegenstand der Variationsrechnung.

Siehe auch

• Optimum