Kantengraph

Der Kantengraph oder Line-Graph ist ein Begriff aus der Graphentheorie. Er definiert zu einen gegebenen Graphen einen neuen Graphen der durch die Vertauschung von Ecken und Kanten entsteht.

Graph G

Konstruktion von L(G)

Kantengraph L(G)

Definition

Der Kantengraph oder Line-Graph $L(G):=(V',E')$ eines einfacher Graphen $G=(V,E)$ ist in der Graphentheorie der Graph mit folgenden Eigenschaften:

1. $V'=E$, das heißt jede Kante von $G$ ist ein Knoten in $L(G)$.
2. Je zwei Knoten aus $V'$ sind in $L(G)$ adjazent, wenn die zugehörigen Kanten aus $E$ einen gemeinsamen Endknoten haben, also in $G$ adjazent sind.

Jeder Kantengraph eines bipartiten Graphen ist ein Perfekter Graph.

Beispiel

Das folgende Beispiel veranschaulicht die Konstruktion des Kantengraphen $L(G)$ zu einem gegebenen Graphen $G=(V,E)$. Der abgebildete Graph $G$ hat die Knotenmenge $V=\{1,2,3,4,5\}$ und die Kantenmenge $E=\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,5\},\{3,4\},\{4,5\}\}$.

Aus dem Original $G$ wird jetzt ein neuer Graph konstruiert, indem jede Kante $e\in E$ von $G$ zu einem neuen Knoten $v'\in V'$in $L(G)$ wird (durch die grüne Ellipse auf den originalen Kanten veranschaulicht). Die neu entstandenen Knoten werden genau dann miteinander verbunden, wenn die Kanten im Originalgraphen aneinanderstießen.

Das Resultat der Konstruktion erhält man durch Ausblenden des Originalgraphen $G$. Zurück bleibt der Kantengraph $L(G)$.

Wieder als Mengen ausgedrückt erhält man $L(G)=(V',\{\{\{1,2\},\{1,3\}\},\{\{1,2\},\{1,4\}\},\{\{1,2\},\{2,5\}\},\dots \})$

Literatur

• Lutz Volkmann: Graphen und Digraphen, Springer (Wien) 1991, ISBN 3-211-82267-4, S. 134ff