Nilpotente Gruppe

Nilpotente Gruppe ist ein Begriff aus dem Bereich der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe. Wir schreiben zur Abkürzung $[x,y]:=x*y*x^{-1}*y^{-1}$ für $x,y\in G$.

G heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, so dass

$[[[...[x_{0},x_{1}],x_{2}],x_{3}],...,x_{n}]=1$

für alle $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\in G$ gilt.

(n heisst Nilpotenzgrad von G).

Eigenschaften

• Jede Untergruppe und jedes homomorphe Bild einer nilpotenten Gruppe ist nilpotent.
• Das direkte Produkt nilpotenter Gruppen ist nilpotent, falls die Nilpotenzgrade der Faktoren beschränkt sind.
• Jede nilpotente Gruppe ist auflösbar.

Beispiele

• Eine Gruppe ist genau dann nilpotent vom Nilpotenzgrad 1, wenn sie abelsch ist.

• Es sei $K$ ein Körper und $n$ eine natürliche Zahl. Die Menge der n×n-Matrizen der Form

${\begin{pmatrix}1&*&\cdots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}$ (dabei stehen die Sterne für beliebige Elemente von $K$)

ist eine Untergruppe der Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen, die Gruppe der strikten oberen Dreiecksmatrizen. Sie ist nilpotent mit Nilpotenzgrad $n-1$.