Als Rundung bezeichnet man eine mathematische Operation, bei der eine Zahl mit einer bestimmten oder unbestimmten Anzahl an Dezimalstellen, auf eine geringere Anzahl an Dezimalstellen gekürzt wird.
Es wird dabei versucht, den Unterschied zwischen Quell- und Zielzahl so gering wie möglich zu halten.
Man unterscheidet weiter zwischen Aufrundung und Abrundung, sowie zwischen arithmetischem und kaufmännischem Runden.
Kaufmännisches Runden
Ist die Ziffer an der dritten Nachkommastelle nicht größer als eine 4, wird abgerundet. Anderenfalls wird aufgerundet. Die folgenden Nachkommastellen werden nicht berücksichtigt.
- aus 2,1349 € wird 2,13 €
- aus 2,1350 € wird 2,14 €
Negative Zahlen werden nach ihrem Betrag gerundet, bei einer 5 also weg von Null:
- aus -2,1349 € wird -2,13 €
- aus -2,1350 € wird -2,14 €
Ist die Ausgangszahl jedoch ihrerseits das Ergebnis einer Rundung, so muss für den Grenzfall, dass alle verfügbaren Stellen nach der neuen Rundungsstelle Nullen sind, wenn möglich auf die exakte Zahl zurückgegriffen werden (etwa bei mathematischen Konstanten):
- exakte Zahl bekannt: 2,134999747..., gerundete Ausgangszahl: 2,1350
⇒ gerundete Zahl = 2,13
- exakte Zahl unbekannt, gerundete Ausgangszahl: 2,1350
⇒ gerundete Zahl = 2,14
In einigen Fällen wird kenntlich gemacht, ob die letzte Ziffer durch Auf- oder Abrunden erhalten wurde. Eine Ziffer, die durch Aufrunden erhalten wurde, wird mit einem Strich unter der Ziffer kenntlich gemacht, eine Ziffer, die durch das Runden nicht verändert wurde (die Zahl wurde also abgerundet), wird mit einem Punkt über der Ziffer gekennzeichnet.
Beispiele:
- wird zu . Beim Runden auf drei Stellen nach dem Komma ist daher abzurunden.
- wird zu . Beim Runden auf drei Stellen nach dem Komma ist daher aufzurunden.
Sind keine weiteren Stellen bekannt, so wird die Ausgangszahl als exakt angenommen. Im Fall von Währungen wird das Ergebnis, ungeachtet des rein mathematischen Ergebnisses, auf fünf Stellen nach der Haupteinheit kaufmännisch gerundet und dann als exakt angesehen. So wurde der Umrechnungsfaktor von DM nach €,
1 € ≡ 1,95583 DM,
als exakt festgelegt.
Alternatives Verfahren (unverzerrte Rundung)
Das kaufmännische Runden erzeugt kleine statistische Fehler, da das Aufrunden um 0,5 vorkommt, das Abrunden um 0,5 jedoch nie. Außerdem ist das Verhalten bei positiven und negativen Zahlen unterschiedlich, wenn die zu rundende Ziffer eine 5 ist.
Daher gibt es ein alternatives Verfahren, das diese Probleme vermeidet. Es rundet bei einer letzten Ziffer 5 immer zur nächsten geraden Zahl auf oder ab. Ansonsten entspricht es dem kaufmännischen Verfahren:
- aus 2,33 wird 2,3
- aus 2,35 wird 2,4
- aus 2,45 wird 2,4
- aus 2,47 wird 2,5
- aus 2,53 wird 2,5
- aus 2,55 wird 2,6
- aus -2,35 wird -2,4
- aus -2,45 wird -2,4
Dieses auch als round to even oder bankers rounding (banker's rounding) bezeichnete Verfahren wird bevorzugt als interne Rundungsregel von Mikroprozessoren verwendet, und ist eine von der IEEE 754 (Norm fuer Gleitkommarechung in elektronischen Rechenanlagen) zulaessige interne und externe Rundungsmethode.
Mit Rundung bezeichnet man auch gekrümmte (runde) Oberflächen.