Bandpassunterabtastung

Unter Bandpassunterabtastung versteht man die Abtastung eines kontinuierlichen bandbegrenzten Signales mit einer Abtastfrequenz, die kleiner als 2f_max (siehe Nyquist-Shannon-Abtasttheorem) ist. Durch geschickte Wahl der Abtastfrequenz kann das kontinuierliche Signal ohne Informationsverlust wieder hergestellt werden.

Beispiel: Um alle UKW-Radiosender zwischen 88 MHz und 108 MHz zu empfangen müsste die Abtastfrequenz nach dem durchlaufen eines Anti-Aliasing-Filters (Tiefpass bei 108 MHz) bei mindestens 2f_max, also bei mindestens 216 MHz liegen. Entfernt man im analogen Signal alle Frequenzanteile zwischen 0 Hz und 88 MHz (also das nicht interessierende Spektrum) so kann das analoge Signal mit etwas mehr als 40 MHz vollständig und verlustfrei digitalisiert werden.

Der Vorgang der Bandpassunterabtastung kann auch als digitales Mischen bezeichnet werden.

Vorteile der Bandpassunterabtasung

• geringere Abtastrate
• einfacherer, besserer, billigerer AD-Wandler
• geringeres Datenaufkommen

Nachteile der Bandpassunterabtasung

• analoger Bandpass nötig

Berechnung der möglichen Abtastfrequenzen

Berechnung von m_max

$m_{\text{max}}=trunc{\biggl (}{\frac {f_{\text{min}}}{f_{\text{max}}-f_{\text{min}}}}{\biggr )}=trunc{\biggl (}{\frac {f_{\text{min}}}{B}}{\biggr )}$

f_min: niedrigste interessante Frequenz

f_max: höchste interessante Frequenz

B: Bandbreite des interessanten Frequenzbands

trunc: Abrunden, Abschneiden

Anschaulich gesehen sagt die Zahl m_max aus wie oft das gewünschte Spektrum zwischen 0 Hz und der niedrigsten interessanten Frequenz f_min "Platz" hat.

Wahl von m

Um mögliche Abtastfrequenzen berechnen zu können muss nun m (m ≤ m_max) gewählt werden oder eine Tabelle über alle m erstellt werden.

bei der Wahl von m ist folgendes zu beachten:

• m ist gerade: Das Signal ist nach der Abtastung in Regellage vorzufinden. D.H. die niedrigste Frequenz im analogen Signal ergibt auch die niedrigste Frequenz im Abgetasteten Signal.
• m ist ungerade: Das Signal ist nach der Abtastung in Kehrlage vorzufinden. D.H. die niedrigste Frequenz im analogen Signal ergibt im abgetasteten Signal die höchste Frequenz.
• Je größer m, desto geringer die resultierende Abtastfrequenz.
• Je größer m, desto genauer muss die Abtastfrequenz sein.

Berechnung der möglichen Abtastfrequenzen

$f_{\text{smin}}={\frac {2f_{\text{max}}}{m+1}}$

$f_{\text{smax}}={\frac {2f_{\text{min}}}{m}}$

f_smin: minimale Abtastfrequenz

f_smax: maximale Abtastfrequenz

Berechnung für das Beispiel UKW-Radio

$m_{\text{max}}=trunc{\biggl (}{\frac {88MHz}{108MHz-88MHz}}{\biggr )}=trunc{\biggl (}{\frac {88MHz}{20MHz}}{\biggr )}=trunc(4{,}4)=4$

m	fsmin	fsmax	Bemerkung
0	216 MHz	$\infty$	Regellage, Nyquist-Frequenz
1	108 MHz	176 MHz	Kehrlage
2	72 MHz	88 MHz	Regellage
3	54 MHz	58,67 MHz	Kehrlage
4	43,2 MHz	44 MHz	Regellage

Wenn das Signal in Kehrlage gewünscht ist ( m muss ungerade sein) und m=3 gewählt wurde, (höchstmögliches ungerades m für niedrigste Abtastfrequenz) so kann die Abtastfrequenz zwischen 54MHz und 58,67MHz liegen ohne dass dabei Informationen verloren gehen.

Wenn das Signal in Regellage gewünscht ist ( m muss gerade sein) und m=4 gewählt wurde, (höchstmögliches gerades m für niedrigste Abtastfrequenz) so kann die Abtastfrequenz zwischen 43,2MHz und 44MHz liegen ohne dass dabei Informationen verloren gehen.

Benötigtes Sample and Hold Glied

bei der Digitalisierung muss ein sogenanntes Sample and Hold Glied eingesetzt werden, welches ein Ausleseintervall hat das so eng ist, wie es für eine Abtastung mit 2f_max (im konkreten beispiel also 216MHz) benötigt wird.

Literatur

Arthur Kohlenberg: Exact interpolation of band-limited functions. 1953.