Permanenzprinzip

Das Permanenzprinzip besagt, dass beim Aufbau einer komplexen mathematischen Theorie die mathematischen Strukturen der zugrundeliegenden Theorie soweit wie möglich erhalten bleiben sollen.

Dieses Arbeitsprinzip wurde von Hermann Hankel 1867 für den axiomatischen Aufbau mathematischer Theorien aufgestellt. Das Permanenzprinzip ist eine Ausfaltung des wissenschaftlichen Sparsamkeitsprinzips, das auch unter dem Namen Ockhams Rasiermesser bekannt ist und auf die Formel "einfach ist am besten" gebracht werden kann.

Anwendung bei der axiomatischen Definition des Zahlensystems

Äquivalenzklassen: Gleichfarbige Felder gehören zur gleichen Äquivalenzklasse

Das Permanenzprinzip sorgt für Anwendbarkeit der gleichen Rechenregeln in allen Zahlenbereichen. Gelb: Operation ist nur eingeschränkt durchführbar Grün: Operation ist uneingeschränkt durchführbar.

Typisches Beispiel für die Anwendung des Permanenzprinzips ist die axiomatische Definition des Zahlensystems. Dabei geht man von einem einfachen Zahlenraum - z.B. den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ - aus und konstruiert auf dieser Grundlage einen komplexeren Zahlenraum. Die Motivation für den Aufbau einer komplexeren Theorie ist dabei der Versuch, dass alle Rechenregeln möglichst universell gelten sollen.

So werden die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen definiert, und man kann die bisherigen natürlichen Zahlen in kanonischer Weise in die ganzen Zahlen einbetten:

$0\implies \lbrace (a,b)\mid b=a\rbrace$

$1\implies \lbrace (a,b)\mid b=a+1\rbrace$

$2\implies \lbrace (a,b)\mid b=a+2\rbrace$ und so fort (dabei sind a, b natürliche Zahlen)

Diese Einbettung soll nach dem Permanenzprinzip mit den Rechenoperationen verträglich sein.

Beispiel

Mit $G(n)$ sei die zu einer natürlichen Zahl gehörige ganze Zahl bezeichnet. "$+$" bezeichne die Addition in den natürlichen Zahlen, "$\oplus$" bezeichne die Addition in den ganzen Zahlen. Dann fordert das Permanenzprinzip:

$G(n+m)=G(n)\oplus G(m)$

Die negativen Zahlen sind dann genau die Äquivalenzklassen, in denen a > b ist:

$-1\implies \lbrace (a,b)\mid a=b+1\rbrace$

$-2\implies \lbrace (a,b)\mid a=b+2\rbrace$ und so fort.

In der nebenstehenden Grafik sind die Äquivalenzklassen als gleichfarbige Felder erkennbar.

Die Schreibweise "-1" ist also nichts anderes als eine Abkürzung für eine Äquivalenzklasse, bei der a = b + 1 ist.

Auf diesen Äquivalenzklassen müssen nun die aus den natürlichen Zahlen bekannten Rechenregeln definiert werden. Dafür gibt es im Prinzip viele Möglichkeiten.

Das Permanenzprinzip fordert nun, die Regeln so zu definieren, dass die Gesetze, die in der Basistheorie gelten, also z.B. Kommutativ- und Assoziativgesetz sowie die Ordnungsrelationen - auch in der neu konstruierten Theorie gelten sollen.

Man kann zeigen, dass es dann im wesentlichen genau eine Möglichkeit gibt, die Rechenregeln in dieser Weise zu definieren (die "neue" Addition ist mit $\oplus$ bezeichnet, um sie von der "alten" Addition innerhalb der natürlichen Zahlen zu unterscheiden):

$\lbrace (a,b)\mid b=a+x\rbrace \oplus \lbrace (c,d)\mid c=d+y\rbrace :=\lbrace (e,f)\mid e=f+(x+y)\rbrace$

Auf der nächsten Stufe - Konstruktion der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$- wird dieses Prinzip wieder angewandt. Rationale Zahlen werden zunächst wieder als Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen definiert. Die Rechenregeln werden nach dem Permanenzprinzip wieder so definiert, dass alle Gesetze und Regeln in den ganzen Zahlen auch für die rationalen Zahlen gelten.

So ist die Addition und die Multiplikation in den natürlichen Zahlen unbeschränkt ausführbar, die Subtraktion hingegen nur, wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend. Die Division ist nur ausführbar, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist.

Durch die Einführung der ganzen und der rationalen Zahlen werden nun die vier Grundrechenarten universell ausführbar (abgesehen von der Division durch Null); die Potenzierung hingegen ist wiederrum nur eingeschränkt möglich: a^1/2 ist nur ausführbar, wenn die Basis a eine Quadratzahl ist usw..

Mit der Einführung der reelen Zahlen $\mathbb {R}$wird auch die Potenzierung bei positiver Basis universell ausführbar; bei negativer Basis wiederum nur eingeschränkt.

Diese letzte Einschränkung wird schließlich durch die Einführung der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ beseitigt. Leider verliert man dabei jedoch die Ordnungsrelation: Die komplexen Zahlen lassen sich nicht anordnen. Das Permanenzprinzip kann hier also nicht in vollem Umfang umgesetzt werden.

Anwendung bei der Division durch Null

Datei:Division durch Null.PNG

Division durch Null:
Fiktion oder Realität?

Es sieht nun zunächst so aus, als ob nur noch die Division durch Null "nicht möglich" oder "verboten" wäre. Daraus ergeben sich zwei mögliche Fragestellungen:

1. Ist die Null überhaupt eine Zahl, oder lässt sich der axiomatische Aufbau nicht auch ohne die Null bewerkstelligen?
2. Kann man den Zahlenraum sinnvoll erweitern, so dass schließlich auch die Division durch Null möglich ist?

Nachdem es "die Mathematik" als unveränderliche Größe nicht gibt, sondern nur verschiedene mathematische Theorien, ist auch der Begriff der "Zahl" in der Mathematik offen und erweiterbar. So kann man z.B. auf dem Raum der stetigen Funktionen von $[0,1]\to [0,1]$ Rechenregeln definieren und sogar eine Ordnungsrelation. Diese Funktionen sind also auch so etwas ähnliches wie "Zahlen". Umgekehrt kann man vorhandene Theorien auch einschränken und untersuchen, welche Gesetze in der eingeschränkten Theorie noch gelten. Ein Beispiel hierfür ist die intuitionistische Mathematik, die nicht nur eine Zahl, sondern ein logisches Gesetz ausschließt, das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten. Derartige Untersuchungen können äußerst fruchtbar sein und tiefe Einblicke in die Natur der zugrundegelegten Axiome geben.

Zahlensysteme ohne "Null"

Es ist nur die Frage, welche Formulierung die Rechenregeln und -gesetze in dieser neuen Theorie annehmen.

Man könnte also z.B. bei den natürlichen Zahlen - wie von Peano vorgeschlagen - mit 1 statt mit 0 anfangen. Im Bereich der natürlichen Zahlen lassen sich Addition und Multiplikation ohne weiteres definieren. Es ergeben sich die gleichen Regeln wie beim ursprünglichen Ansatz.

Wie dort ist die Subtraktion jedoch nur eingeschränkt durchführbar. Man kann nun wie bisher die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen definieren. Eine Äquivalenzklasse muss nun gesondert behandeln werden: nämlich die Klasse

$\lbrace (a,b)\mid a=b\rbrace$

Diese Klasse ist wohldefiniert, erhält in der neuen Theorie aber einen Sonderstatus. Denn die bisherige Vereinbarung, diese Klasse mit der "Null" zu identifizieren, soll ja vermieden werden. Es ergibt sich die gleiche Menge von Äquivalenzklassen wie beim bisherigen Ansatz, wobei die Äquivalenzklasse

$\lbrace (a,b)\mid a=b\rbrace$

ausgeschlossen wird. Man kann zeigen, dass alle Gesetze erhalten bleiben, es kommt jedoch stets eine Sonderregelung für die Klasse

$\lbrace (a,b)\mid a=b\rbrace$ hinzu.

Man gewinnt also nichts, es geht jedoch die Einfachheit verloren, alles wird nur komplizierter. Daher ist es schon aus Gründen der Praktikabilität geboten, die Klasse

$\lbrace (a,b)\mid a=b\rbrace$

mit hinzuzunehmen, vor allem weil es keinen intuitiven Grund gibt, diese Klasse auszuschließen und mit dem Namen "Null" zu bezeichnen. Jede andere Bezeichnung wäre auch möglich (z.B. neutrales Element) und wird in entsprechenden Kontexten auch verwendet (z.B. in der Gruppentheorie). Im allgemeinen ist aber die Bezeichnung "Null" naheliegend und entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch.

Zahlensysteme, in denen die Division durch Null definiert ist

Einen Grund, diese "Zahl" gesondert zu behandeln, scheint es jedoch zu geben, nämlich die Division durch Null. Nachdem der Zahlenraum schon mehrfach erweitert werden konnte, um Rechenoperationen auf dem gesamten Zahlenraum durchführen zu können, stellt sich also die zweite Frage: Kann man den Zahlenraum (sinnvoll) so erweitern, dass eine Division durch Null möglich wird?

Auch diese Frage kann man zunächst einmal bejahen. Man muss „nur“ das Ergebnis der Division durch Null definieren. Die Definition muss jedoch zwei Anforderungen erfüllen, um brauchbar zu sein:

1. Die bisherigen Rechenregeln sollen möglichst ausnahmslos weitergelten (Permanenzprinzip).
2. Das Ergebnis einer Division durch Null muss wohldefiniert sein, d.h. eindeutig bestimmt sein.

Im folgenden wird gezeigt, dass eine Definition, die beide Anforderungen voll erfüllt, nicht möglich ist. Es gibt jedoch eine Definition, die wenigstens einen Teil der Anforderungen erfüllt und daher auch von praktischer Bedeutung ist.

Beim Versuch, die Division durch Null zu definieren, ergibt sich im einfachsten Fall nach dem Permanenzprinzip:

${0 \over 0}=1$ (Forderung 1, denn für a≠0 gilt ${a \over a}=1$).

Jedoch andererseits:

${0 \over 0}={0\cdot 0 \over 0}=0\cdot {0 \over 0}=0$ denn für a≠0 gilt $0\cdot a=0$.

Bei konsequenter Anwendung des Permanenzprinzips ergibt sich also ein Verstoß gegen die Wohldefiniertheit. Umgekehrt führt jede "eindeutige" Definition z.B. der Division 0/0 automatisch zu einem Verstoß gegen das Permanenzprinzip.

Da ein Verstoß gegen die Wohldefiniertheit schwerer wiegt als ein Verstoß gegen das Permanenzprinzip, trifft man üblicherweise eine Festlegung der folgenden Art. Dazu erweitert man den Zahlenraum um eine weitere Zahl, die man Θ nennen könnte, und die als das Ergebnis jeglicher Division durch 0 festgelegt wird:

Definition Θ:    Θ := a / 0 für alle a∈R.

Folgende Rechenoperationen werden definiert:

Θ 1:    a + Θ := Θ und Θ + a = Θ

Θ 2:    a - Θ := Θ und Θ - a = Θ

Θ 3:    a * Θ := Θ und Θ * a = Θ

Θ 4:    a / Θ := Θ und Θ / a = Θ

Θ 5:    a ^ Θ := Θ und Θ ^ a = Θ

jeweils für a ∈ R ∪ {Θ}. Das Ergebnis jedes Ausdrucks, in dem irgendwo Θ vorkommt, wird als Θ festgelegt.

Mit diesen Definitionen gelten nun viele bisherigen Rechenregeln weiter, wie z.B. a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c, a * (b + c) = a * b + a * c.

Hingegen

• a / a = 1 gilt nicht mehr, wenn a = Θ: Θ / Θ = Θ
• a - a = 0 gilt nicht mehr, wenn a = Θ: Θ - Θ = Θ
• 0 * a = 0 gilt nicht mehr, wenn a = Θ: 0 * Θ = Θ

Auch die Ordnungsrelation kann man definieren. Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten: entweder Θ ist größer als alle übrigen Zahlen oder Θ ist kleiner als alle anderen Zahlen. Jedoch ist diese Ordnungsrelation mit den oben genannten Rechenregeln nicht mehr verträglich.

Da einige grundlegende Rechenregeln durch die Einführung des Θ nicht mehr gelten, handelt es sich also nicht um eine Erweiterung des Zahlenraumes im Sinne des Permanenzprinzips.

Das Zahlensystem lässt zwar erweitern, so dass das Ergebnis der Division durch Null definiert ist. Jedoch hat diese Erweiterung einige Nachteile:

1. Die Erweiterung ist nicht in eindeutiger Weise möglich. Es gibt verschiedene, untereinander gleichberechtigte Möglichkeiten.
2. Die Erweiterung führt nicht zu einer Vereinfachung der Regeln - wie bei der Erweiterung der natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen hin - sondern zu einer größeren Komplexität.
3. Die Erweiterung ist nicht verträglich mit dem Permanenzprinzip.

Probleme

Vor allem, weil im Bereich der Ordnungsrelation keine eindeutige Definition möglich ist, hat man sich daher in der mathematischen Welt entschieden, diese Frage einfach offen zu lassen: die Division durch Null ist nicht definiert. Leider haben sich dann in der Alltagsmathematik unglückliche Formulierungen wie "die Division durch Null ist nicht möglich" oder "die Division durch Null ist verboten" eingebürgert. Richtig ist, dass es einfach keine naheliegende, eindeutige Erweiterung gibt (vor allem im Bereich der Ordnungsrelation) und daher eine Festlegung nicht getroffen wird. Im Bereich der Programmierung ist es jedoch üblich geworden, die Regeln Θ 1 bis Θ 4 zu implementieren, z.B. in Excel, das statt Θ die Notation #DIV0! verwendet.

Zusammenfassung

Im axiomatischen Aufbau des Zahlensystems führt das Permanenzprinzip zu einfachen und eindeutigen Formulierungen. Jedoch sind nicht ausnahmslos intuitive Festlegungen möglich, zum Beispiel bei der Division durch Null. Hier sind verschiedene Erweiterungen möglich, in der Praxis wird daher keine Festlegung getroffen.

Ein Verzicht auf die "Zahl" 0 ist ebenfalls möglich, führt aber zu einer unnötigen und deutlich höheren Komplexität bei der Formulierung der mathematischen Gesetze.