Benutzer:Feathil/Balkenbiegung

Verformung in Trägermitte

Arbeitsatz

$w=\int _{0}^{l}{\frac {M(x){\overline {M}}}{EI(x)}}\;\mathrm {d} x$

Sonderfall EI = const

Bei Bauteilen aus Werkstoffen mit einer linearen Spannungs-Dehnungslinie ist das Elastizitätsmodul E lastunabhängig und somit konstant. Handelt es sich weiter um ein Träger mit konstantem Querschnitt vereinfacht sich die Berechnung zu:

$w={\frac {1}{EI}}\int _{0}^{l}M(x){\overline {M}}\;\mathrm {d} x$

Für ein Rechteckquerschnitt wie er bei Holz z.B üblich ist ergibt sich dann mit $I_{rechteck}={\frac {h^{3}b}{12}}$  :

$w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\int _{0}^{l}M(x){\overline {M}}\;\mathrm {d} x$

a) konstante Streckenlast

Bei Berechnung der Durchbiegung in Trägermitte und eine über das gesamte Bauteil wirkende konstante Streckenlast q ( z.B. Eigengewicht des Trägers ) erhält man dann:

$w={\frac {24}{Eh^{3}b}}\int _{0}^{\frac {l}{2}}\underbrace {{\frac {q}{2}}(lx-x^{2})} _{M(x)}\cdot \underbrace {{\frac {1}{2}}x} _{\overline {M}}\;\mathrm {d} x$

$w={\frac {6q}{Eh^{3}b}}\int _{0}^{\frac {l}{2}}lx^{2}-x^{3}\;\mathrm {d} x$

$w={\frac {6q}{Eh^{3}b}}\left[{\frac {lx^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\right]_{0}^{\frac {l}{2}}$

$w={\frac {6q}{Eh^{3}b}}\left[{\frac {l^{4}}{24}}-{\frac {l^{4}}{64}}\right]$

$w={\frac {5ql^{4}}{32Eh^{3}b}}$

Einzellast

Bei Berechnung der Durchbiegung in Trägermitte für eine an der Stelle x = a $\leqq$ l/2 angreifender Einzellast P erhält man dann:

$w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\left(\int _{0}^{a}\underbrace {{\frac {l-a}{l}}Px} _{M(x)}\cdot \underbrace {{\frac {1}{2}}x} _{\overline {M}}\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{\frac {l}{2}}\underbrace {{\frac {a}{l}}(l-x)P} _{M(x)}\cdot \underbrace {{\frac {1}{2}}x} _{\overline {M}}\;\mathrm {d} x+\int _{\frac {l}{2}}^{l}\underbrace {{\frac {a}{l}}(l-x)P} _{M(x)}\cdot \underbrace {{\frac {1}{2}}(l-x)} _{\overline {M}}\;\mathrm {d} x\right)$

$w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\cdot {\frac {P}{2l}}\left(\int _{0}^{a}\left(l-a\right)x^{2}\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{\frac {l}{2}}a(l-x)x\;\mathrm {d} x+\int _{\frac {l}{2}}^{l}a(l-x)(l-x)\;\mathrm {d} x\right)$

$w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\cdot {\frac {P}{2l}}\left(\left[{\frac {l-a}{3}}x^{3}\right]_{0}^{a}+\left[a\left({\frac {lx^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}\right)\right]_{a}^{\frac {l}{2}}+\left[a\left(l^{2}x-lx^{2}+{\frac {x^{3}}{3}}\right)\right]_{\frac {l}{2}}^{l}\right)$

$w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\cdot {\frac {P}{2l}}\left({\frac {l-a}{3}}a^{3}+\left[a\left({\frac {l^{3}}{8}}-{\frac {l^{3}}{24}}\right)\right]-\left[{\frac {la^{3}}{2}}-{\frac {a^{4}}{3}}\right]+\left[a{\frac {l^{3}}{3}}\right]-\left[a\left({\frac {l^{3}}{2}}-{\frac {l^{3}}{4}}+{\frac {l^{3}}{24}}\right)\right]\right)$

$w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\cdot {\frac {aP}{2l}}\left({\frac {l^{3}}{8}}-{\frac {la^{2}}{6}}\right)$

$w={\frac {aP}{Eh^{3}b}}\left({\frac {3}{4}}l^{2}-a^{2}\right)$

Die Biegelinie läßt sich aus der Biegetheorie herleiten:

$EI_{y}\,w''(x)=-M_{y}(x)$

$EI_{y}\,w'(x)=-\int M_{y}(x)\mathrm {d} x+C_{1}$

$EI_{y}\,w(x)=-\int \int M_{y}(x)\mathrm {d} x+xC_{1}+C_{2}$

Nach einsetzen des Momentenverlaufs in die Bereiche $0\leqq x\leqq a$ und $a\leqq x\leqq l$ erhält man:

$EI_{y}\,w''(0\leqq x\leqq a)=-M_{y}(x)=-{\frac {x(l-a)}{l}}P$

$EI_{y}\,w''(a\leqq x\leqq l)=-M_{y}(x)=-{\frac {a(l-x)}{l}}P$

$w'(0\leqq x\leqq a)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {x^{2}(l-a)}{2l}}+C_{1}\right)$

$w'(a\leqq x\leqq l)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(2lx-x^{2})}{2l}}+C_{2}\right)$

$w(0\leqq x\leqq a)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {x^{3}(l-a)}{6l}}+C_{1}x+C_{3}\right)$

$w(a\leqq x\leqq l)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(3lx^{2}-x^{3})}{6l}}+C_{2}x+C_{4}\right)$

Für die Ermittlung der vier unbekannten C1 bis C4 sind vier Randbedingungen aufzustellen:

1.) Am Auflager x=0 kann der Balken sich nicht verschieben, daher ist die Durchbiegung gleich null:

$w(x=0)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {0^{3}\cdot (l-a)}{6l}}+C_{1}\cdot 0+C_{3}\right)=0$

2.) Am Kraftangriffspunkt x=a ist die Durchbiegung für beide Teilbereiche x<a und x>a gleich:

$w(x=a)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a^{3}(l-a)}{6l}}+C_{1}a+C_{3}\right)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(3la^{2}-a^{3})}{6l}}+C_{2}a+C_{4}\right)$

3.) Am Kraftangriffspunkt x=a ist die Verdrehung für beide Teilbereiche x<a und x>a gleich:

$w'(x=a)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a^{2}(l-a)}{2l}}+C_{1}\right)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(2la-a^{2})}{2l}}+C_{2}\right)$

4.) Am Auflager x=l kann der Balken sich nicht verschieben, daher ist die Durchbiegung gleich null:

$w(x=l)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(3l^{3}-l^{3})}{6l}}+C_{2}l+C_{4}\right)=0$

---

$C_{3}=0;\quad C_{1}a-C_{2}a-C_{4}={\frac {a^{3}}{3}};\quad C_{1}-C_{2}={\frac {a^{2}}{2}};\quad C_{2}l+C_{4}=-{\frac {al^{2}}{3}}$

$C_{1}={\frac {3la^{2}-2al^{2}-a^{3}}{6l}};\qquad C_{2}=-{\frac {2al^{2}+a^{3}}{6l}};\qquad C_{3}=0;\qquad C_{4}={\frac {a^{3}}{6}}$

---

$w(0\leqq x\leqq a)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {x^{3}(l-a)}{6l}}+{\frac {3la^{2}-2al^{2}-a^{3}}{6l}}x\right)=-{\frac {Px}{6EI_{y}l}}\left({x^{2}(l-a)}+{3la^{2}-2al^{2}-a^{3}}\right)$

$w(a\leqq x\leqq l)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(3lx^{2}-x^{3})}{6l}}+C_{2}x+C_{4}\right)$

Erläuterung für Stahlbetonbalken

$w=\int _{0}^{l}{\frac {M(x){\overline {M}}}{EI(x)}}\;\mathrm {d} x$

$w=\int _{0}^{l}\kappa (x){\overline {M}}\;\mathrm {d} x$

$w={\frac {l}{3N}}\sum _{i=0}^{N}c_{simp}\kappa _{i}(M_{i}){\overline {M_{i}}}\;\;\;\;\;\;,N{\text{ gerade}}$

$w={\frac {l}{3N}}\left(\kappa _{0}{\overline {M}}_{0}+4\kappa _{1}{\overline {M}}_{1}+2\kappa _{2}{\overline {M}}_{2}+\dotsb +2\kappa _{N-2}{\overline {M}}_{N-2}+4\kappa _{N-1}{\overline {M}}_{N-1}+\kappa _{N}{\overline {M}}_{N}\right)$

${\overline {M}}$-Linie

a) Für die Berechnung der Durchbiegung in Trägermitte

Die Formel für die Momentenverlaufslinie einer ${\overline {1}}$-Last in Trägermitte wird für die Simpson-Integration umformuliert.

${\overline {M}}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}x\leqq {\frac {l}{2}}\\{\frac {1}{2}}\left(l-x\right)\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}x\geqq {\frac {l}{2}}\end{cases}}$

zu

${\overline {M}}_{i}={\begin{cases}{\frac {i}{2N}}l\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}i\leqq {\frac {N}{2}}\\{\frac {1}{2}}l\left(1-{\frac {i}{N}}\right)\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}i\geqq {\frac {N}{2}}\end{cases}}$

b) Für die Berechnung der Durchbiegungen an beliebiger Stelle j

Die Formel für die Momentenverlaufslinie einer an beliebiger Stelle angreifender ${\overline {1}}$-Last wird für die Simpson-Integration umformuliert.

${\overline {M}}(x)={\begin{cases}{\frac {b}{l}}x\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}x\leqq a\\{\frac {a}{l}}\left(l-x\right)\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}x\geqq a\end{cases}}$

zu

${\overline {M}}_{i}={\begin{cases}i{\frac {N-j}{{N}^{2}}}l\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}i\leqq j\\j{\frac {N-i}{{N}^{2}}}l\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}i\geqq j\end{cases}}$

M-Linie

a) einwirkende Momente unter Gleichlast an den einzelnen Stellen i

Die Formel für die Momentenverlaufslinie einer Streckenlast q wird für die Simpson-Integration umformuliert.

${M}(x)={\frac {q_{ed,perm}}{2}}\left(lx-x^{2}\right)$

zu

${M}_{i}={\frac {q_{ed,perm}l^{2}}{2}}\left({\frac {i}{N}}-{\frac {i^{2}}{N^{2}}}\right)$

b)einwirkende Momente unter an der Stelle j angreifender Einzellast ${P}_{j}$ an den einzelnen Stellen i

Die Formel für die Momentenverlaufslinie einer an beliebiger Stelle angreifender Einzellast wird für die Simpson-Integration umformuliert.

${M}(x)={\begin{cases}{\frac {b}{l}}x\cdot {P}_{j,ed,perm},&{\text{wenn }}x\leqq a\\{\frac {a}{l}}\left(l-x\right)\cdot {P}_{j,ed,perm},&{\text{wenn }}x\geqq a\end{cases}}$

zu

${M}_{i}={\begin{cases}i{\frac {N-j}{{N}^{2}}}l\cdot {P}_{j,ed,perm},&{\text{wenn }}i\leqq j\\j{\frac {N-i}{{N}^{2}}}l\cdot {P}_{j,ed,perm},&{\text{wenn }}i\geqq j\end{cases}}$

Ermittlung der Krümmungen $\kappa$

$\kappa _{i}={\begin{cases}{\frac {M_{i}}{M_{crit}}}\cdot \kappa _{crit},&{\text{wenn }}M_{i}\leqq M_{crit}\\\kappa _{crit}+\left(\kappa _{1{,}3\sigma _{sr}}-\kappa _{crit}\right)\cdot \left({\frac {M_{i}-M_{crit}}{M_{1{,}3\sigma _{sr}}-M_{crit}}}\right),&{\text{wenn }}M_{crit}\leqq M_{i}\leqq M_{1{,}3\sigma _{sr}}\\\kappa _{1{,}3\sigma _{sr}}+\left(\kappa _{y}-\kappa _{1{,}3\sigma _{sr}}\right)\cdot \left({\frac {M_{i}-M_{1{,}3\sigma _{sr}}}{M_{y}-M_{1{,}3\sigma _{sr}}}}\right),&{\text{wenn }}M_{1{,}3\sigma _{sr}}\leqq M_{i}\leqq M_{y}\end{cases}}$

Bestimmung statische Höhe d

$d=h-c_{nom}-d_{s}\cdot$

Muss Druckbewehrung verwendet werden, so ist noch weiter:

$d_{2}=c_{nom}+d_{s}\cdot$

Bestimmung Rissmoment Rechteckbalken

Rissmoment für t = 0 ohne Berücksichtigung der Zugbewehrung

Dehnungen

Bestimmung Rissdehnung Beton:

$\epsilon _{cu}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}$

Bestimmung Randdehnung Betondruckseite:

$\epsilon _{co}=\epsilon _{cu}{\frac {x}{h-x}}$

$\epsilon _{co}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}$

Spannungen

Bestimmung Randspannung Betondruckseite:

$\sigma _{co}=E_{c0}\cdot \epsilon _{co}$

$\sigma _{co}=E_{c0}{\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}$

$\sigma _{co}=f_{ctm}{\frac {x}{h-x}}$

Bestimmung der Druckzonenhöhe x aus dem Kräftegleichgewicht in Trägerlängsrichtung

$F_{c,unten}-F_{c,oben}=0\cdot$

${\frac {1}{2}}A_{c,unten}\sigma _{cu}-{\frac {1}{2}}A_{c,oben}\sigma _{co}=0$

${\frac {1}{2}}(h-x)bf_{ctm}-{\frac {1}{2}}xb{\frac {x}{h-x}}f_{ctm}=0$

$(h-x)b-xb{\frac {x}{h-x}}=0$

$(h-x)^{2}b-x^{2}b=0$

$(h^{2}-2hx+x^{2})b-x^{2}b=0$

$-x\left(2hb\right)+\left(h^{2}b\right)=0$

$x={\frac {h^{2}b}{2hb}}$

Rissmoment für t = 0 unter Berücksichtigung der Zugbewehrung

Dehnungen

Bestimmung Rissdehnung Beton:

$\epsilon _{cu}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}$

Bestimmung Randdehnung Betondruckseite:

$\epsilon _{co}=\epsilon _{cu}{\frac {x}{h-x}}$

$\epsilon _{co}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}$

Bestimmung Stahldehnung unmittelbar vor Riss:

$\epsilon _{s}=\epsilon _{cu}{\frac {d-x}{h-x}}$

$\epsilon _{s}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}$

Spannungen

Bestimmung Stahlspannung unmittelbar vor Riss

$\sigma _{s}=\epsilon _{s}\cdot E_{s}$

$\sigma _{s}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}E_{s}$

Bestimmung Randspannung Betondruckseite:

$\sigma _{co}=E_{c0}\cdot \epsilon _{co}$

$\sigma _{co}=E_{c0}{\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}$

$\sigma _{co}=f_{ctm}{\frac {x}{h-x}}$

Bestimmung der Druckzonenhöhe x aus dem Kräftegleichgewicht in Trägerlängsrichtung

$F_{c,unten}+F_{s,unten}-F_{c,oben}=0\cdot$

${\frac {1}{2}}A_{c,unten}\sigma _{cu}+A_{s}\sigma _{s}-{\frac {1}{2}}A_{c,oben}\sigma _{co}=0$

${\frac {1}{2}}(h-x)bf_{ctm}+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}f_{ctm}-{\frac {1}{2}}xb{\frac {x}{h-x}}f_{ctm}=0$

$(h-x)b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}{\frac {2(d-x)}{h-x}}-xb{\frac {x}{h-x}}=0$

$(h-x)^{2}b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}2(d-x)-x^{2}b=0$

$(h^{2}-2hx+x^{2})b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}2(d-x)-x^{2}b=0$

$-x\left(2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}\right)+\left(h^{2}b+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}d\right)=0$

$x={\frac {h^{2}b+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}d}{2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}}}$

Rissmoment für $t=\infty$ ohne Berücksichtigung der Zugbewehrung

Dehnungen

Bestimmung Rissdehnung Beton:

$\epsilon _{cu}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}$

Bestimmung Randdehnung Betondruckseite:

$\epsilon _{co}=\epsilon _{cu}{\frac {x}{h-x}}$

$\epsilon _{co}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}$

Spannungen

Bestimmung Randspannung Betondruckseite:

$\sigma _{co}={\frac {E_{c0}}{1+\phi }}\epsilon _{co}$

$\sigma _{co}={\frac {E_{c0}}{1+\phi }}{\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}$

$\sigma _{co}={\frac {f_{ctm}}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}$

Bestimmung der Druckzonenhöhe x aus dem Kräftegleichgewicht in Trägerlängsrichtung

$F_{c,unten}-F_{c,oben}=0\cdot$

${\frac {1}{2}}A_{c,unten}\sigma _{cu}-{\frac {1}{2}}A_{c,oben}\sigma _{co}=0$

${\frac {1}{2}}(h-x)bf_{ctm}-{\frac {1}{2}}xb{\frac {f_{ctm}}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}=0$

$(h-x)-x{\frac {1}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}=0$

$(h-x)^{2}-x^{2}{\frac {1}{1+\phi }}=0$

$(h^{2}-2hx+x^{2})-x^{2}{\frac {1}{1+\phi }}=0$

$x^{2}\left(1-{\frac {1}{1+\phi }}\right)-x\left(2h\right)+\left(h^{2}\right)=0$

$x^{2}-x{\frac {2h(1+\phi )}{\phi }}+{\frac {h^{2}(1+\phi )}{\phi }}=0$

$x={\frac {2h(1+\phi )}{2\phi }}\pm {\sqrt {{\frac {\left(2h\right)^{2}(1+\phi )^{2}}{(2\phi )^{2}}}-{\frac {h^{2}(1+\phi )}{\phi }}}}$

$x={\frac {h}{2\phi }}\left(2(1+\phi )\pm {\sqrt {4(1+\phi )^{2}-(1+\phi )4\phi }}\right)$

Da x nicht größer als h sein kann, bleibt eine Lösung übrig

$x={\frac {h}{\phi }}\left((1+\phi )-{\sqrt {(1+\phi )}}\right)$

Rissmoment für $t=\infty$ unter Berücksichtigung der Zugbewehrung

Dehnungen

Bestimmung Rissdehnung Beton:

$\epsilon _{cu}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}$

Bestimmung Randdehnung Betondruckseite:

$\epsilon _{co}=\epsilon _{cu}{\frac {x}{h-x}}$

$\epsilon _{co}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}$

Bestimmung Stahldehnung unmittelbar vor Riss:

$\epsilon _{s}=\epsilon _{cu}{\frac {d-x}{h-x}}$

$\epsilon _{s}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}$

Spannungen

Bestimmung Stahlspannung unmittelbar vor Riss

$\sigma _{s}=\epsilon _{s}\cdot E_{s}$

$\sigma _{s}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}E_{s}$

Bestimmung Randspannung Betondruckseite:

$\sigma _{co}={\frac {E_{c0}}{1+\phi }}\epsilon _{co}$

$\sigma _{co}={\frac {E_{c0}}{1+\phi }}{\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}$

$\sigma _{co}={\frac {f_{ctm}}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}$

Bestimmung der Druckzonenhöhe x aus dem Kräftegleichgewicht in Trägerlängsrichtung

$F_{c,unten}+F_{s,unten}-F_{c,oben}=0\cdot$

${\frac {1}{2}}A_{c,unten}\sigma _{cu}+A_{s}\sigma _{s}-{\frac {1}{2}}A_{c,oben}\sigma _{co}=0$

${\frac {1}{2}}(h-x)bf_{ctm}+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}f_{ctm}-{\frac {1}{2}}xb{\frac {f_{ctm}}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}=0$

$(h-x)b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}{\frac {2(d-x)}{h-x}}-xb{\frac {1}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}=0$

$(h-x)^{2}b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}2(d-x)-x^{2}b{\frac {1}{1+\phi }}=0$

$(h^{2}-2hx+x^{2})b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}2(d-x)-x^{2}b{\frac {1}{1+\phi }}=0$

$x^{2}\left(b-{\frac {b}{1+\phi }}\right)-x\left(2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}\right)+\left(h^{2}b+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}d\right)=0$

$x^{2}-x{\frac {\left(2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}\right)(1+\phi )}{b\phi }}+{\frac {\left(h^{2}b+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}d\right)(1+\phi )}{b\phi }}=0$

$x={\frac {\left(2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}\right)(1+\phi )}{2b\phi }}\pm {\sqrt {{\frac {\left(2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}\right)^{2}(1+\phi )^{2}}{(2b\phi )^{2}}}-{\frac {\left(h^{2}b+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}d\right)(1+\phi )}{b\phi }}}}$

Bestimmung des Rissmomentes

$M_{crit}={\frac {f_{ctm}I_{I}}{h-x_{I}}}$

mit

$x_{I}=k_{xI}h={\frac {0{,}5+({\frac {E_{s}(1+\phi )}{E_{c}}})\rho _{u}{\frac {d}{h}}}{1+({\frac {E_{s}(1+\phi )}{E_{c}}})\rho _{u}}}h$

$I_{I}=k_{I}{\frac {bh^{3}}{12}}$

$k_{I}=1+12(0{,}5-k_{x1})^{2}+12\alpha _{e}\rho _{u}\left({\frac {d}{h}}-k_{xI}\right)^{2}$

Grenzzustand der Tragfähigkeit

anzusetzendes einwirkendes Moment

$M_{ed}=\Sigma \gamma _{G,i}\cdot G,i+\gamma _{Q}\cdot Q_{k,j}+\Sigma \gamma _{Q}\cdot \psi _{0,i}\cdot Q_{k,i}$

$M_{ed}=1.35\cdot M_{gk}+1.5\cdot M_{qk}$

$M_{ed}=1.35\cdot \left(g_{k,1}+g_{k,2}\right){\frac {l^{2}}{8}}+1.5\cdot q_{k,1}{\frac {l^{2}}{8}}$

Bestimmung Betondruckkraft GDT

$F_{c}=\int \sigma (x)\;\mathrm {d} A$

$F_{c}=\int _{0}^{x={\frac {-\epsilon _{c}}{\epsilon _{s}-\epsilon _{c}}}d=X}\sigma (x)b\;\mathrm {d} x$

a) $\epsilon _{c}\leqq \epsilon _{c2}$

$F_{c}=\int _{0}^{X}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}(x)}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=\int _{0}^{X}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=\left(x+{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n+1}-{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\right)bf_{cd}$

$F_{c}=\left(X+{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\left(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n+1}-{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\right)bf_{cd}$

b) $\epsilon _{c2}\leqq \epsilon _{c}$

$F_{c}=\int _{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}(x)}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x+{\frac {(\epsilon _{c}-\epsilon _{c2})X}{\epsilon _{c}}}bf_{cd}$

$F_{c}=\int _{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x+{\frac {(\epsilon _{c}-\epsilon _{c2})X}{\epsilon _{c}}}bf_{cd}$

$F_{c}=\left({\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}-{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\right)bf_{cd}+{\frac {(\epsilon _{c}-\epsilon _{c2})X}{\epsilon _{c}}}bf_{cd}$

$F_{c}=\left(1-{\frac {\epsilon _{c2}}{(n+1)\epsilon _{c}}}\right)Xbf_{cd}$

Bestimmung des inneren Hebelarms z

${\begin{aligned}z&=d-x+s_{F_{c}}\\&=d-\underbrace {{\frac {-\epsilon _{c}}{\epsilon _{s}-\epsilon _{c}}}d} _{x}+\underbrace {\frac {S_{y}}{F_{c}}} _{s_{F_{c}}}\end{aligned}}$

Statisches Moment

$S_{y}=\int \sigma (x)x\;\mathrm {d} A$

$S_{y}=\int _{0}^{x={\frac {-\epsilon _{c}}{\epsilon _{s}-\epsilon _{c}}}d=X}\sigma (x)xb\;\mathrm {d} x$

a) $\epsilon _{c}\leqq \epsilon _{c2}$

$S_{y}=\int _{0}^{X}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}(x)}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n}\right)xbf_{cd}\;\mathrm {d} x$

$S_{y}=\int _{0}^{X}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n}\right)xbf_{cd}\;\mathrm {d} x$

$S_{y}=\left({\frac {(b-ax)(b+a(n+1)x)(1-{\frac {ax}{b}})^{n}}{a^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {x^{2}}{2}}\right)bf_{cd}$

$S_{y}=bf_{cd}\left({\frac {(\epsilon _{c2}X-\epsilon _{c}x)(\epsilon _{c2}X+\epsilon _{c}(n+1)x)(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}})^{n}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {x^{2}}{2}}\right){\Big |}_{0}^{X}$

${\begin{aligned}S_{y}&=bf_{cd}\left({\frac {(\epsilon _{c2}X-\epsilon _{c}X)(\epsilon _{c2}X+\epsilon _{c}(n+1)X)(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}})^{n}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {X^{2}}{2}}\right)\\&-bf_{cd}\left({\frac {\epsilon _{c2}^{2}X^{2}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}\right)\end{aligned}}$

$S_{y}=bf_{cd}X^{2}\left({\frac {(\epsilon _{c2}-\epsilon _{c})(\epsilon _{c2}+\epsilon _{c}(n+1))(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}})^{n}-\epsilon _{c2}^{2}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{2}}\right)$

b) $\epsilon _{c2}\leqq \epsilon _{c}$

$S_{y}=\int _{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}(x)}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n}\right)xbf_{cd}\;\mathrm {d} x+\int _{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}^{X}xbf_{cd}\;\mathrm {d} x$

$S_{y}=\int _{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n}\right)xbf_{cd}\;\mathrm {d} x+\int _{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}^{X}xbf_{cd}\;\mathrm {d} x$

${\begin{aligned}S_{y}&=bf_{cd}\left({\frac {(\epsilon _{c2}X-\epsilon _{c}x)(\epsilon _{c2}X+\epsilon _{c}(n+1)x)(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}})^{n}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {x^{2}}{2}}\right){\Big |}_{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\\&+{\frac {x^{2}}{2}}bf_{cd}{\Big |}_{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}^{X}\end{aligned}}$

$S_{y}=-bf_{cd}{\frac {\epsilon _{c2}^{2}X^{2}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {X^{2}}{2}}bf_{cd}$

$S_{y}=bf_{cd}X^{2}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {\epsilon _{c2}^{2}}{\epsilon _{c}^{2}}}{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}\right)$

Mindestbewehrung

$A_{s,min}={\frac {M_{ed}}{zf_{yd}}}$

Bestimmung Betondruckkraft GDG

$F_{c}=\int \sigma (x)\;\mathrm {d} A$

$F_{c}=\int _{0}^{x={\frac {\left|\epsilon _{c}\right|}{\left|\epsilon _{s}\right|+\left|\epsilon _{c}\right|}}d=X}\sigma (x)b\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=\int _{0}^{X}{\frac {k\eta -\eta ^{2}}{1+(k-2)\eta }}bf_{c}\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=bf_{c}\int _{0}^{X}{\frac {k{\frac {\epsilon ({\frac {x}{1+\phi }})}{\epsilon _{c1}}}-{\frac {\epsilon ({\frac {x}{1+\phi }})^{2}}{\epsilon _{c1}^{2}}}}{1+(k-2){\frac {\epsilon ({\frac {x}{1+\phi }})}{\epsilon _{c1}}}}}\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=\int _{0}^{X}{\frac {k{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c1}(1+\phi )X}}x-{\frac {\epsilon _{c}^{2}}{\epsilon _{c1}^{2}(1+\phi )^{2}X^{2}}}x^{2}}{1+(k-2){\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c1}(1+\phi )X}}x}}bf_{c}\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=\left|cbf_{c}\left({{\frac {x(k-1)^{2}}{c(k-2)^{2}}}-{\frac {\ln {(-2cx+ckx+1)}(k-1)^{2}}{c^{2}(k-2)^{3}}}-{\frac {x^{2}}{2(k-2)}}}\right)\right|_{0}^{X}$

$F_{c}=cbf_{c}\left({{\frac {X(k-1)^{2}}{c(k-2)^{2}}}-{\frac {\ln {(-2cX+ckX+1)}(k-1)^{2}}{c^{2}(k-2)^{3}}}-{\frac {X^{2}}{2(k-2)}}}\right)$

mit:

$c={\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c1}(1+\phi )X}}$

$k=-E_{cm}{\frac {\epsilon _{c1}}{f_{cm}}}$

$k={\begin{cases}2{,}322&{\text{bei }}C12/15\\2{,}169&{\text{bei }}C16/20\\2{,}160&{\text{bei }}C20/25\\2{,}033&{\text{bei }}C25/30\\1{,}931&{\text{bei }}C30/37\\1{,}858&{\text{bei }}C35/45\\1{,}799&{\text{bei }}C40/50\\1{,}718&{\text{bei }}C45/55\\1{,}650&{\text{bei }}C50/60\end{cases}}$

$X={\frac {\left|\epsilon _{c}\right|}{\left|\epsilon _{s}\right|+\left|\epsilon _{c}\right|}}d$

Bestimmung Stahldehnung bei abgeschloßenem Erstrissbild

$\epsilon _{sm}=\epsilon _{1{,}3\sigma _{s}}-\beta _{t}\cdot \left(\epsilon _{\sigma _{sr2}}-\epsilon _{\sigma _{sr1}}\right)$

Bestimmung Fließmoment

Stahlzugkraft beim Fließmoment:

$F_{sy}={f_{ym}}\cdot A_{su}$

Stahldehnung beim Fließmoment:

$\epsilon _{sy}={\frac {f_{ym}}{E_{s}}}$

innerer Hebelarm:

$z=\underbrace {h-c} _{d}-X+x_{F_{c}/2}$

Bestimmung des Fließmomentes:

$M_{y}=F_{sy}\cdot z$

Trägerkrümmung beim Fließmoment:

$\kappa _{y}={\frac {\left|\epsilon _{s}\right|+\left|\epsilon _{c}\right|}{d}}$

Bestimmung des Fließmomentes:

$M_{y}=F_{sy}\cdot z$

Kriechen

Kriechen bezeichnet die Verformungszunahme des Betons im Laufe der Zeit unter einer konstanten Spannung. Es ist eine Eigenschaft des Betons, die sich insbesondere bei Druckbelastung durch eine Gefügeumwandlung und Volumenverminderung äußert.

Das Kriechen wird durch das im Zementstein enthaltene Wasser ausgelöst. Eine äußere Belastung führt zum Platzwechsel von Wassermolekülen im Zementsteingel. Dazu kommen Verdichtungs- und Gleitvorgänge zwischen den Gelpartikeln. Es wird chemisch nicht gebundenes Wasser aus den Zementporen in die Kapillaren gepresst und verdunstet, was ein Schrumpfen des Gels zur Folge hat. Die Zunahme der Kriechverformungen werden mit der Zeit immer geringer und kommen erst nach mehreren Jahren nahezu zum Stillstand.

Das Kriechen setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Der reversible Verformungsanteil, der nach Entlastung mit zeitlicher Verzögerung zurückgeht, auch als Rückkriechen bezeichnet, wird durch das Alter des Betons wenig beeinflusst und erreicht schon nach kurzer Zeit seinen Endwert. Der dominierende irreversible Verformungsanteil bleibt nach Entlastung voll erhalten, er wird auch als Fließen bezeichnet, ist dagegen stark vom Betonalter abhängig und erreicht seinen Wert erst nach langer Zeit. Unter ungünstigen Randbedingungen kann die Endkriechzahl einen Wert von ungefähr 3,0 erreichen, d. h. die Betonverformungen durch Kriechen sind dreimal so groß wie aus der elastischen Verformung.

Verlauf und Ausmaß des Kriechens werden neben Belastungsgröße und Alter des Betons insbesondere durch das Zementsteinvolumen und den Wasser-Zement-Wert beeinflusst. Weitere Parameter sind Luftfeuchtigkeit, Querschnittsgeometrie des Bauteils, Erhärtungsgeschwindigkeit des Zementes und Betondruckfestigkeit. Die Kriechzahlen werden im Labor mit dem Kriechversuch bestimmt.

Die Angaben in der DIN 1045-1 gelten für das lineare Kriechen unter einer Druckspannung, d. h. die Kriechzahlen sind unabhängig von der Belastungshöhe. Dies gilt bis zu einer Spannung von ungefähr 45% der Zylinderfestigkeit des Betons. Bei höheren Betondruckspannungen tritt infolge einer verstärkten Mikrorissbildung des Betons das nichtlineare Kriechen auf. Dabei nehmen die Kriechverformungen mit steigender Belastung überproportional zu.

Bei der Berechnung von vorgespannten Betonteilen (Spannbeton) ist das Kriechen des Betons ein wichtiger Parameter, den es zu beachten gilt, da durch die Vorspannung immer große Betondruckspannungen vorhanden sind. Die sich daraus ergebenden Kriechdehnungen des Spannbetonbauteils vermindern die Spannstahldehnung und damit auch die Vorspannkraft. Das Kriechen des Betons kann aber auch maßgebend sein bei dem Tragfähigkeitsnachweis von schlanken Stahlbetonstützen oder bei dem Verformungsnachweis von schlanken Decken.

Bestimmung Endkriechzahl φ

Die Endkriechzahl φ eines Bauteils ist von folgenden Parametern abhängig:

• ausgewählte Betonfestigkeitsklasse
• vorhandene wirksame Querschnittsdicke
• ausgewählte Zementart
• umgebene relative Luftfeuchtigkeit
• Belastungsbeginn für das Bauteils nach dem Betonieren.

Für eine konstante Belastung und einer kriecherzeugende Betondruckspannung

$\sigma _{c}<0,45\cdot f_{ck;zyl}$

kann die Endkriechzahl φ(∞,t₀) nach DIN 1045-1 Bild 18 und Bild 19 ermittelt werden.

Ausgewählte Betonfestigkeitsklasse:

Je höher die Druckfestigkeit des Betons eines Querschnittes, desto geringer fällt die Endkriechzahl φ(∞,t₀) aus, wobei

• bei hoher relativer Luftfeuchtigkeit die Unterschiede nicht so ausgeprägt sind wie bei geringerer relativer Luftfeuchtigkeit.

• mit steigender wirksamer Querschnittsdicke h₀ sind die Unterschiede zwischen den einzelnen Betonfestigkeitsklassen ebenfalls geringer ausgeprägt.

Wirksame Querschnittsdicke:

Mit steigender wirksamer Querschnittsdicke h₀ nimmt die Endkriechzahl φ(∞,t₀) einen geringeren Wert ein.

$h_{0}={\frac {2A_{c}}{u}}$

Dabei ist u der Umfang des Querschnitts und A_c die Querschnittsfläche.

1.) Bei Rechteckquerschnitten gilt:

$u=2\cdot h+2\cdot b$

$A_{c}=h\cdot b$

$h_{0}={\frac {h\cdot b}{h+b}}$

Daran ist zu erkennen, dass

• bei gleichem Seitenverhältnis h/b von Rechteckbalken haben größere Querschnitte auch eine größere wirksame Querschnittsdicke $h_{0}$.

• bei gleicher Querschnittsfläche $A_{c}$ besitzen Rechteckbalken mit größerem Seitenverhältnis h/b eine kleinere wirksame Querschnittsdicke $h_{0}$.

2.) Bei Plattenquerschnitten gilt:

$u=2\cdot b$

$A_{c}=h\cdot b$

$h_{0}={\frac {hb}{b}}=h$

Die wirksame Querschnittsdicke $h_{0}$ entspricht der Plattenhöhe h.

3.) Bei Plattenbalken gilt:

$u=2\cdot h+2\cdot b_{f}$

$A_{c}=h_{f}\cdot b_{f}+(h-h_{f})\cdot b_{w}$

$h_{0}={\frac {h_{f}\cdot b_{f}+(h-h_{f})\cdot b_{w}}{h+b_{f}}}$

Daran ist zu erkennen, dass

• bei gleicher Querschnittsfläche $A_{c}$ besitzen Plattenbalken mit ausgeprägterer T-Form eine kleinere wirksame Querschnittsdicke $h_{0}$.

Ausgewählte Zementart

Die Zement-Festigkeitsklassen werden in drei Gruppen eingeteilt

• Gruppe 1: Zement 32,5
• Gruppe 2: Zement 32,5 R; 42,5
• Gruppe 3: Zement 42,5 R; 52,5

Verwendete Zemente der Gruppe 1 führen zu einer höheren Endkriechzahl φ(∞,t₀) als Zemente der Gruppe 2, und Zemente der Gruppe 2 zu einer höheren Endkriechzahl φ(∞,t₀) als diejenigen der Gruppe 3. Dabei sind die Unterschiede ausgeprägter je früher das Bauteil nach dem Betonieren belastet wird. Ab einem Betonalter t₀ > 20 Tage bestehen nur noch minimale Differenzen zwischen den Werten der einzelnen Gruppen. Zu beachten ist, dass nicht jede Festigkeitsklasse des Zementes mit jeder Beton-Festigkeitsklasse kombinierbar ist.

Anhaltswerte für zu verwendene Zementarten
C20/25	C25/30	C30/37	C35/45	C40/50	C45/55	C50/60	C55/67	C60/75	C70/85	C80/95	C90/105	C100/115
32,5	32,5	32,5	32,5 R	32,5 R	32,5 R	32,5 R	32,5 R	42,5 R	42,5 R	42,5 R	52,5 R	52,5 R
1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3

Relative Luftfeuchtigkeit

In der DIN 1045-1 sind Diagramme für RH = 50% und RH = 80% zur Ermittlung der Endkriechzahl φ(∞,t₀) enthalten. Dabei sind die Werte in Bild 18 (RH = 50%) typischerweise für Innenbauteile und die in Bild 19 (RH = 80%) für Außenbauteile anzuwenden. Für mittlere relative Luftfeuchten unter 50% und zwischen 50% und 80% darf linear extrapoliert bzw. linear interpoliert werden (DIN 1045-1 9.1.4.6).

Betonalter t₀ bei Belastungsbeginn

Das Kriechmaß ist umso größer, je geringer das Betonalter bei Belastungsbeginn ist. Im gegensatz zum Schwinden ist φ(∞,t₀) sehr stark von t₀ abhängig.

Endkriechzahl φ(∞,t₀) für t₀ = 28d und RH = 50%

h0	C20/25	C25/30	C30/37	C35/45	C40/50	C45/55	C50/60	C55/67	C60/75	C70/85	C80/95	C90/105	C100/115
10	3,88	3,21	2,74	2,42	2,17	1,97	1,79	1,66	1,53	1,33	1,21	1,07	0,98
20	3,43	2,90	2,49	2,19	1,97	1,77	1,63	1,53	1,40	1,23	1,08	1,00	0,92
30	3,18	2,71	2,33	2,07	1,86	1,68	1,54	1,45	1,33	1,18	1,05	0,96	0,88
40	3,03	2,59	2,24	2,01	1,80	1,63	1,48	1,40	1,29	1,14	1,03	0,95	0,86
50	2,93	2,48	2,20	1,96	1,75	1,60	1,46	1,37	1,27	1,13	1,02	0,93	0,85
60	2,88	2,43	2,15	1,92	1,73	1,56	1,45	1,35	1,26	1,10	1,01	0,93	0,83
70	2,83	2,41	2,12	1,89	1,69	1,54	1,42	1,34	1,23	1,09	1,01	0,92	0,83
80	2,76	2,37	2,09	1,86	1,67	1,52	1,40	1,33	1,21	1,08	1,00	0,90	0,82
90	2,71	2,34	2,06	1,82	1,63	1,49	1,39	1,29	1,20	1,07	0,99	0,89	0,81
100	2,68	2,30	2,02	1,79	1,61	1,47	1,36	1,28	1,19	1,06	0,98	0,88	0,80
110	2,64	2,28	2,00	1,77	1,60	1,47	1,35	1,28	1,18	1,06	0,98	0,88	0,79
120	2,62	2,26	1,99	1,76	1,59	1,46	1,34	1,27	1,16	1,05	0,96	0,87	0,78
130	2,61	2,24	1,97	1,75	1,57	1,46	1,34	1,27	1,16	1,05	0,96	0,87	0,78
140	2,60	2,23	1,96	1,74	1,56	1,45	1,33	1,26	1,15	1,03	0,95	0,86	0,78
150	2,57	2,22	1,95	1,73	1,56	1,45	1,33	1,26	1,15	1,03	0,95	0,86	0,78

Spannglied im nachträglichen Verbund

Spanngliedführung

Für die Spanngliedführung wird ein parabolischer Verlauf gewählt. Wobei sich die Parabel wie folgt beschreiben läßt:

$z_{i}(x)=4\cdot f_{i}\cdot (\xi -\xi ^{2})$

mit

$\xi ={\frac {x}{l_{tot}}}$

• Die Position von $z_{i}$ wird in die Schwerelinie des Betonquerschnitts gelegt.

• Der Parabelstich $f_{i}$ ergibt sich aus dem Abstand der Schwerelinie des Betonquerschnitts zur Position der Hüllrohrlage in Feldmitte, welche durch die Mindestbetondeckung des Hüllrohres vorgegeben ist.

Lage der Schwerelinie des Betonquerschnitts

Für Rechteck- und Plattenquerschnitte läßt sich die Lage der Schwerelinie vom oberen Rand gemessen angeben zu:

$s_{A_{c}}={\frac {h}{2}}$

Bei Plattenbalken ergibt sich die Lage der Schwerelinie vom oberen Rand gemessen aus:

$s_{A_{c}}={\frac {(h_{f}\cdot b_{f})\cdot 0.5h_{f}+((h-h_{f})\cdot b_{w})\cdot 0.5(h+h_{f})}{h_{f}\cdot b_{f}+(h-h_{f})\cdot b_{w}}}$