Rotation eines Vektorfeldes

In der mehrdimensionalen Analysis und der Vektorrechnung ist die Rotation eine Vektor-wertige Funktion eines Vektorfeldes, die angibt, ob das Vektorfeld die Tendenz hat, um bestimmte Punkte zu rotieren.

Beispiele

Ein Wirbelsturm rotiert um sein so genanntes Auge, und ein Vektorfeld, das die Windgeschwindigkeiten eines Wirbelsturms angibt, hat eine von Null verschiedene Rotation im Auge, und möglicherweise noch an anderen Stellen.
Ein Vektorfeld, das die Geschwindigkeit jedes Punktes einer rotierenden Scheibe angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von Null verschiedene Rotation.
Das Vektorfeld einer Autobahn, deren Spuren von rechts nach links ansteigende Fahrzeuggeschwindigkeiten aufweisen, hat an den Mittellinien zwischen den Spuren eine von Null verschiedene Rotation.

Definition

Die Rotation eines dreidimensionalen Vektorfeldes F = (F_x, F_y, F_z) wird geschrieben als

\operatorname {rot} {\vec {F}}=\nabla \times {\vec {F}}

wobei $\nabla$ der Nabla-Operator ist. Das Kreuz bezeichnet dabei ein (formales) Kreuzprodukt, so dass die Rotation ausgeschrieben in kartesischen Koordinaten die folgende Form hat (Alternativ lässt sich die Rotation auch berechnen als (formale) Determinante der Matrix):

\operatorname {rot} {\vec {F}}=\nabla \times {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

Rechenregeln

$\forall \;{\vec {c}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\qquad c_{i}=const(i=1,2,\ldots n)$

$\mathrm {rot} \,c\cdot {\vec {F}}=c\cdot \mathrm {rot} \,{\vec {F}}$
$\mathrm {rot} \,({\vec {F}}+{\vec {G}})=\mathrm {rot} \,{\vec {F}}+\mathrm {rot} \,{\vec {G}}$
$\mathrm {rot} \,(u\cdot {\vec {F}})=u\cdot \mathrm {rot} \,{\vec {F}}-{\vec {F}}x\cdot \mathrm {grad} \ u$
$\mathrm {rot} \,\mathrm {grad} \,u=0$

Beachte, dass die Rotation eines Vektorfeldes ein Feld von Pseudovektoren ist, das heißt, die Rotation eines Vektorfeldes bezüglich einem linkshändigen Koordinatensystem ist das Negative der Rotation desselben Vektorfeldes bezüglich einem rechtshändigen Koordinatensystem. (Analog ist die Rotation eines Pseudovektorfeldes ein Vektorfeld.)

siehe auch: