Kern (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden.

• Ist $f\colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge

$\mathrm {ker} \,f:=\{g\in G\mid f(g)=e_{H}\in H\}$

aller Elemente von $G$, die auf das neutrale Element von $H$ abgebildet werden, Kern von $f$ genannt. Er ist ein Normalteiler in $G$.

• Ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen (oder ein Homomorphismus abelscher Gruppen oder allgemeiner Moduln), dann heißt die Menge

$\mathrm {ker} \,f:=\{v\in V\mid f(v)=0\in W\}$

der Kern von $f$. Er ist ein Unterraum von $V$ (bzw. Untergruppe, Untermodul).

• Ist $f\colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus, so ist die Menge

$\mathrm {ker} \,f:=\{a\in A\mid f(a)=0\}$

der Kern von $h$. Er ist ein zweiseitiges Ideal in A.

Der Kern hat zentrale Bedeutung im Homomorphiesatz.

Beispiel (lineare Abbildung von Vektorräumen)

Wir betrachten die lineare Abbildung f: R³ → R³, die durch

$f({\vec {x}})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}$

definiert ist.

Offensichtlich bildet $f$ hier genau die Vektoren der Form

${\vec {x}}=\lambda {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\lambda \in \mathbb {R}$

auf den Nullvektor ab (und andere nicht).

$\left\{\lambda {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\lambda \in \mathbb {R} \right\}$

ist also der Kern von $f$.

Verallgemeinerungen

In einer Kategorie mit Nullobjekten ist ein Kern eines Morphismus f: X → Y der Differenzkern des Paares (f, 0), d.h. charakterisiert durch die folgende universelle Eigenschaft:

• Ist t: T → X ein Morphismus, so dass ft = 0 ist, so faktorisiert t über ker f.

In der universellen Algebra ist der Kern eines Homomorphismus f: A → B die durch f induzierte Äquivalenzrelation auf A, also die Menge {(x,y): f(x)=f(y)}.

Kokern

Der Kokern ist der duale Begriff zum Kern.

Ist f: V → W eine lineare Abbildung von Vektorräumen über einem Körper, so ist der Kokern von f der Quotient von W nach dem Bild von f.

Entsprechend ist der Kokern für Homomorphismen abelscher Gruppen oder Moduln über einem Ring definiert.

Der Kokern erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Jeder Homomorphismus t: W → T, für den tf = 0 gilt, faktorisiert über den Kokern von f.

Diese Eigenschaft ist auch die Definition für den Kokern in beliebigen Kategorien mit Nullobjekten. In abelschen Kategorien stimmt der Kokern mit dem Quotienten nach dem Bild überein.