Gruppentheorie

Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik, da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z. B. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur darstellt (Gesetze für Gruppen).

Beispielsweise folgt die Gruppe, die durch das Hintereinanderausführen von Drehungen eines regulären n- Ecks in der Ebene um Vielfache des Winkels 360°/2n entsteht, denselben Gesetzen wie die Addition der ganzen Zahlen modulo n. Neutrales Element wäre hier die Nicht-Drehung um einen Winkel von 0°.

Große Beiträge zur Gruppentheorie stammen unter anderem von Nils Henrik Abel.

Definition des Gruppenbegriffs:

Eine Menge M heißt Gruppe, wenn auf ihr eine zweiwertige Operation a * b definiert ist, so dass folgende Axiome erfüllt sind:

1. Abgeschlossenheit: Sind a und b Elemente von M, dann ist auch das Ergebnis (a*b) in M.

2. Assoziativität: a*(b*c) = (a*b)*c

3. neutrales Element: Es existiert ein Element 1 in M, so dass für alle Elemente gilt a*1 = a.

4. inverses Element: Zu jedem Element a in M existiert ein Element, nenne es a^-1, so dass a*a^-1= 1.

Ist zusätzlich noch die folgende Bedingung erfüllt, so spricht man von einer abelschen Gruppe:

5. Kommutativität: a*b = b*a.

Grundkonzepte der Gruppentheorie:

Kardinalität einer Gruppe

Die Mächtigkeit |M| der Trägermenge der Gruppe nennt man Kardinalität der Gruppe.

Ordnung von Elementen

Ergibt ein Element der Gruppe nach endlich vielen Multiplikationen mit sich selbst das neutrale Element 1, d. h. gilt: aⁿ = 1, so nennt man n die Ordnung des Elementes.

Davon ausgehend kann man z. B. zeigen, dass die Ordnung jeden Elementes einer endlichen Gruppe die Kardinalität der Gruppe teilt.

Untergruppen

Ist U eine Teilmenge der Trägermenge M und gelten für {U,*} die Gruppenaxiome, so nennt man U eine Untergruppe von M.

Hierzu ein wichtiger Satz: Die Kardinalität jeder Untergruppe U einer endlichen Gruppe teilt die Kardinalität der Gruppe M. Ist beispielsweise |M| eine Primzahl, kann M nur einelementige Untergruppen enthalten.

Nebenklassen

Zu einer Untergruppe U in M kann man die rechte Nebenklasse zum Element b, man schreibt U*b, wie folgt definieren:

U*b entsteht aus den Elementen der Untergruppe U, wenn man sie von rechts mit b multipliziert.

analog kann man die linken Nebenklassen definieren.

Beispiel: Man nehme die ganzen Zahlen mit der Addition als M. Dann ist die Menge aller ganzzahligen vielfachen von drei eine Untergruppe. Bildet man die rechten Nebenklassen, so erhält man folgende Tabelle:

U     U+1   U+2  U+3=U  U+4=U+1 ...

...   ...   ...
-6    -5    -4
-3    -2    -1
 0     1     2
 3     4     5
 6     7     8
...   ...   ...

Man sieht, dass diese Tabelle wieder genau alle ganzen Zahlen enthält, wobei keine Zahl zweimal vorkommt. Für endliche Gruppen gibt es einen Satz, der besagt: Die Anzahl der Nebenklassen multipliziert mit |U| ergibt |M|.

Die Spalten sind genau die Teilungsreste bei der Division durch 3 ! Jetzt mag man versucht sein, hier nur mit den Nebenklassen zu rechnen, also modulo 3, und sich fragen ob es so ein Konzept zu jeder Untergruppe für beliebige Gruppen gibt. Dies führt zur folgenden Definition:

Normalteiler

Ist für jedes Element b aus M die linke Nebenklasse gleich der rechten, d. h. U*b = b*U, so nennt man U einen Normalteiler von M.

Ein Sonderfall ist: In einer abelschen Gruppe M ist jede Untergruppe Normalteiler.

Faktorgruppe

Damit können wir nun unser Konzept des Rechnens auf den Nebenklassen umsetzen: Ist U ein Normalteiler, dann kann man nur mit den Nebenklassen rechnen und erhält eine Gruppe.

Dies geht wie folgt: man nimmt irgendein Element aus der einen Spalte und multipliziert es mit einem beliebigen Element aus der anderen Spalte. Die Spalte, in der das Ergebnis liegt, ist das Ergebnis meiner Multiplikation.

Die mit dieser Multiplikation und den Spalten (Nebenklassen) als Elementen definierte Gruppe nennt man die Faktorgruppe von M bezüglich U.

Zyklische Gruppen

Gibt es in M ein Element a, so dass man jedes andere Element als Potenz a^k schreiben kann, so nennt man M eine zyklische Gruppe und a erzeugendes Element.

Ausblick

Es gibt auch Verallgemeinerungen der Gruppentheorie. Eine Herangehensweise ist die Definition der Halbgruppen und Monoide:

Für Halbgruppen werden nur die Axiome 1. und 2. verlangt. Existiert in einer Halbgruppe ein neutrales Element, so spricht man von einem Monoid.

Eine Einbettung des Gruppenkonzeptes in Algebren mit zwei Operationen bildet die Theorie der Körper.