Diskussion:Primzahl

Eine Zahl, die nicht Primzahl ist, nennt man zusammengesetzte Zahl.

Das ist nicht ganz korrekt. 0 und 1 sind weder Primzahl noch zusammengesetzt. Das sollte man noch irgendwie reinbringen. --Berni 22:32, 17. Dez 2003 (CET)

Danke fuer den Hinweis, das hatte ich uebersehen. --SirJective 11:41, 18. Dez 2003 (CET)

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Ich habe die alte Version wieder hergestellt, da die Änderungen am Sieb des Erasblabla unsinn sind. In der Praxis wird man dies so realisieren (werd ich gleich in den Artikel schreiben), aber am Anfang weiß man ja eigentlich noch nicht, daß 2 eine Primzahl ist. Analog könnte man auch die ersten 100 Primzahlen als bekannt voraussetzen und würde letztlich nichts anderes tun als ab da anfangen zu prüfen. Die Antwort zur Frage, warum 1 keine Primzahl ist habe ich aus den unten besprochenen Gründen gelöscht. --Coma 18:38, 27. Feb 2003 (CET)

Halo Coma, zu deiner Frage zu den Primzahlen: Die Zahl ist nur durch sich selbst teilbar. Sie durch 1

zu teilen ist das gleiche, wie sie durch sich selbst zu teilen. Die Bediengung für eine Primzahl ist also nicht erfüllt! bei weiteren Fragen --> Diskusion:Primzahlen DaB.

Wer sagt denn, daß "durch 1 teilbar sein" und "durch sich selbst teilbar sein" nicht das gleiche sein darf? Die Definition verlangt nur das beides zu gleich geht. Wenn es ein und das selbe ist, geht auch beides zu gleich... darum würd ich den punkt bei "warum 1 keine primzahl ist" löschen. das ist absoluter humbug. --Coma 13:36, 25. Feb 2003 (CET)

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(Aus dem Artikel hierher verschoben -- Paul Ebermann)

• Ich störe mich an dem Satz, es sei unbekannt, ob es unendlich viele Primzahlen gibt. Wenn es keine größte Primzahl gibt, ist das meines Erachtens bereits der Beweis, dass es auch unendlich viele gibt, denn bei JEDER angenommenen Anzahl von Primzahlen wird man sagen müssen: Es gibt noch mindestens eine größere! q.e.d. (GeorgGerber)
  • Da steht ja auch: Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Ein Primzahlzwilling ist ein Paar von Primzahlen mit Differenz 2, wie 3 - 5, 5 - 7, 11- 13, 17-19. -- Paul Ebermann 22:30, 27. Sep 2002 (CEST)

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Jede positive ganze Zahl lässts sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (eindeutige Primfaktorzerlegung). So besteht z.B. die Zahl 1050 aus den Primfaktoren 2 · 3 · 5 · 5 · 7.

Wenn jede ganze Zah mit einem Produkt aus primzahlen dargestellt werden kann, wie stellt man dann zum Beispiel die "7" oder die "11" dar? 7*1 geht ja nicht, da die "1" ja keine Primzahl ist, oder?

Soweit ich weiß ist das Produkt aus einer Zahl als die Zahl selbst und das Produkt aus 0 Faktoren als 1 definiert. --Caramdir 18:00, 28. Aug 2003 (CEST)

Ja, diese Festlegung ist üblich. Hab den Artikel Multiplikation entsprechend erweitert. Der Artikel über Addition sollte dann auch noch erweitert werden um Summen mit 1 oder 0 Summanden. In de.sci.mathematik war vor kurzem eine Diskussion über genau dieses Thema. Sollte man diese Festlegungen im Artikel noch begründen? --SirJective 18:52, 29. Aug 2003 (CEST)

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Diskussion zur gelöschten Liste der Primzahlen von 1 - 10000

Ich frage mich, ob wir solche Listen wirklich brauchen, und wenn ja, ob die wirklich so lang sein müssen? Es gibt eine gute "Suchmaschiene" die alle möglichen Listen von Zahlen ausspuckt:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/

--Coma 18:57, 1. Mär 2003 (CET)

Ich find so eine Liste recht unerotisch, ein Artikel über das Finden von Primzahlen mit einem Beispiel (kann gern 1-1000 sein) ist doch viel besser. -- TomK32 19:35, 1. Mär 2003 (CET)

Seh ich auch so, und unter Primzahl steht es sogar schon, von da kam ja diese Liste ursprünglich. Also doch weg damit? --Coma 15:36, 2. Mär 2003 (CET)

Die Frage ist nicht, ob man etwas unerotisch findet oder nicht, sondern ob ein Wikipedia Artikel abgerufen wird oder nicht. Wartet doch einfach 5 Jahre ab. Wenn dann die Liste weniger als 20 mal abgerufen wurde, bringt sie wahrscheinlich den Wikipedia Lesern nichts. Benutzer:rho

Nein, die Frage ist, ob so etwas in die Wikipedia gehört oder nicht. Das entscheidet sich nicht daran, wie oft die Seite aufgerufen wird. Wir wollen ja nicht das ganze Web überfüssig machen, sondern eine Enzyklopädie aufbauen. Und selbst wenn wir danach entscheiden, wie oft die Seite aufgerufen wird. Das kann ja auch daran liegen, das sie umstritten ist.

Solche Listen von Zahlen gehören meiner Meinung nach nicht hier hin. Stattdessen kann man auch einen Link auf eine entsprechende Website angeben, die solche Zahlen bereithält. Davon hat der Nutzer in aller Regel wohl auch mehr. Denn die Liste kann viel länger sein oder spezielle Probleme werden detailierter erläutert. --Coma 20:08, 2. Mär 2003 (CET)

Ich bin dafür, die Primzahlen bis 101 in Primzahl zu übernehmen und dann weg mit diesem Artikel. Es ist nichts dagegen einzuwenden, kurze Listen als Beispiele zu verwenden, z.B. Primzahlenpaare wie 9857/9859 oder meinetwegen die größten bekannten Primzahlen (nicht unbedingt in voller Dezimalschreibweise), aber die Auflistung hier hat (ebenso wie z.B. die Auflistung des gesamten menschlichen Erbgutes) keinen enzyklopädischen Informationsgehalt - für sowas gibt es Programme und Datenbanken -- JakobVoss 14:25, 8. Apr 2003 (CEST)

FULL ACK, Jakob! Flups 14:40, 8. Apr 2003 (CEST)

Bin auch für löschen. Evtl. Ersetzen der Liste durch ein Java-applet zur Primzahlerzeugung? -- Schewek 17:29, 10. Apr 2003 (CEST)

löschen ja! Java-Applet nein! höchstens externer Link auf entsprechendes Applet! Ich lösch so gerne darf ich? --Coma 17:40, 10. Apr 2003 (CEST)

Nur zu! --nerd 17:45, 10. Apr 2003 (CEST)

falls sie mal jemand braucht, hier die liste, die diskussion wird wohl besser nicht gelöscht... --Coma 17:59, 10. Apr 2003 (CEST)

Der Übersicht halber habe ich trotzdem mal Deine Primzahlliste gelöscht und durch 2 externe Links ersetzt (für die ich die volle verantwortung übernehme):

• Die Primzahlen bis 2 Millionen als Textdatei (ca. 1,2MB)[1]
• Die Primzahlen bis 20 Millionen als Textdatei (ca. 11,3MB)[2]

--Modran 22:44, 24. Sep 2004 (CEST)

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Der Artikel Primfaktorzerlegung redirected hierher, ich kann hier jedoch keine Darstellung der Zerlegung ganzer Zahlen in Primzahlen finden (auch die kanonische Darstellung). Falls ich mal Zeit hab, baue ich das ein, waere aber nicht boese, wenn mir jemand zuvorkaeme. Ebenso muesste der Begriff zusammengesetzte Zahlen erklaert werden. --SirJective 13:56, 3. Dez 2003 (CET)

Dann bau dass doch besser unter Primfaktorzerlegung ein und verweise von hier dorthin... --Coma 15:40, 3. Dez 2003 (CET)

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Alte Version zur Frage "Warum ist 1 keine Primzahl wieder hergestellt"

Der neue Text ist mathematisch durchaus korrekt. Ich bin dennoch der Meinung, dass man dem Leser die Auswahl an Antworten überlassen sollte. Die oben genannte Frage, impliziert nämlich die Frage, warum Definiert man dies und das so, und nicht anderst. Man könnte doch einfach sagen, eine Primzahl ist eine natürliche Zahl die maximal 2 natürliche Teiler hat, dann ist 1 auch eine. Geht man auf weitere Ringe über, so stellt sich heraus, dass die angegebene Definition eigentlich die Definition eines irreduziblen Elements ist, und garnicht die eines Primelements. Stenggenommen müsste man hier eigentlich die Definition eines Primelements angeben. Aber das verwirrt Leute, die sich keine Gedanken über Verallgemeinerungen machen (wollen). Da Primzahl eine der am häufigsten aufgesuchten mathematischen Seiten in der Wikipedia ist, sollte man hier vorsichtig sein.--Berni 14:21, 29. Jan 2004 (CET)

Jede zahl hat unendlich viele Teiler, wenn diese nicht unterschiedlich sein müssen. So ist

• 1 = 1*1*1*1...
• 2 = 2*1*1*1*1...
• 3 = 3*1*1*1*1*1...
• 4 = 2*2*1*1*1...
• 5 = 5*1*1*1...
• 6 = 2*3*1*1*1... etc.

Wenn die 1 eine Primzahl WÄRE, dann würde folgende Definition gelten: Eine Zahl ist genau DANN eine Primzahl, wenn ihre Zerlegung außer sich selbst und der 1 keine anderen Zahlen enthält.

Das klingt einfach und logisch. Mathematik untersucht aber keine Naturgesetze, sondern formale Systeme, und davon gibt es unendlich viele, die allesamt völlig gleichberechtigt sind. man kann die 1 als primzahl definieren oder auch nicht - es geht nur darum, welches der beiden Systeme am zweckmäßigsten ist. --Modran 22:53, 24. Sep 2004 (CEST)

Babbages Vermutung

Ich weiß zwar nicht mehr wo ich es gelesen habe, aber es gibt die Vermutung von Charles Babbage, daß wenn p eine Primzahl ist, das folgendes gilt:

${{2p-1} \choose {p-1}}-1\equiv p^{2}$

Irgendwie hat p³-3 auch noch irgendwie damit zu tun. --Arbol01 13:36, 30. Apr 2004 (CEST)

Ach ja, für die Primzahlen 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47 und 53 trifft diese Vermutung zu. Eine Pseudoprimzahl tritt bis 53 auch nicht auf. Mal sehen. --Arbol01 14:23, 30. Apr 2004 (CEST)

Ich habe jetzt im "The new Book of the Prime Number Records" folgende Formel (wieder(gefunden):

${{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1\mod p^{3}$

Allerdings nicht unter dem Namen Babbage, sondern mehr oder weniger unter "The Property of Wolstenholme". --Arbol01 23:21, 10. Mai 2004 (CEST)

Beweise für die Existenz unendlich vieler Primzahlen

Ich muß doch mal schreiben, das Du Benutzer:Coma, den entsprechenden Mathematikern unrecht tust, wenn Du ihnen vorwirfst, man könne eine Reihe von beweisen immer leicht konstruieren. Wenn du Dir die Beweise nämlich mal anschaust (für die nuch nicht ausgeführten mußt Du allerdings das Buch "The new Prime Records" von Paolo Ribenboim lesen, und die sind dann wirklich knackig) wirst Du feststellen, das sich hinter einer ganzen Menge Perlen befinden.

Da hast du was falsch verstanden. Konstruhieren kann man eine Reihe von Beweisen nat. nur dann, wenn man schon einen hat! Man fügt einfach ein paar an sich überflüssige, d.h. nicht notwendige aber dennoch nicht falsch Schritte ein. Deshalb hat mich die Formulierung gestört. Zumal man den Begriff "Reihe" in einem mathematischen Artikel auch noch missverstehen kann, nämlich genau in dem von mir vorgegebenen Sinne. Statt einen nicht notwendigen, kann ich ja beliebig viele nicht notwendige Schritte in einen Beweis einfügen. Formal betrachtet sind das dann alles unterschiedliche Beweise. Mal ganz abgesehen davon, dass es schwer ist zu definieren wann Beweise identisch sind. Das ist mehr ein Gefühl. --Coma 19:30, 4. Mai 2004 (CEST)

Der Satz von Euklid ist übrigens nicht nur ein Satz, sondern ein echter Beweis. Ein Beweis durch Widerspruch, um genau zu sein. --Arbol01 17:53, 3. Mai 2004 (CEST)

Dem stimme ich zu. Der "Satz von Euklid" ist immer mit einem bestimmten Beweis verknuepft, der selbst als der Satz bezeichnet wird. --SirJective 11:49, 4. Mai 2004 (CEST)

Prinzipiell unterscheidet man immer eine Aussage (also einen Satz, eine Vermutung) von einem Beweis, der eine Vermutung zu einem Satz werden lässt. Wenn das in diesem speziellen Fall im Sprachgebrauch anders sein sollte (was ich bezweifle) sollte man das erwähnen, denn sonst trägt die jetztige und alte Version nicht unbedingt dazu bei, dass wir hier irgendwann mal eine stabile Version des Artikels hinbekommen. Vielleicht mag das im Schulunterricht (und manchmal auch an der Uni) nicht so genau auseinander gehalten werden, weil man den Satz von Euklid immer mit dem Beweis von Euklid serviert bekommt, aber genau genommen ist falsch. Wenn ich den Satz von Euklid mit einem anderen als dem Beweis von Euklid beweise, ist es ja immernoch die selbe Aussage und heißt dann immernoch Satz von Euklid. Wenn man Satz und Beweis vermengt, führt dies immer zur Verwirrung. --Coma 19:30, 4. Mai 2004 (CEST)

Hmm... Ein bisschen googlen bringt mich zu der Erkenntnis, dass es einige "Saetze von Euklid" gibt:

1. Satz von Euklid ueber Primzahlen
2. Kathetensatz oder Satz des Euklid ([3])
3. "Erster Satz von Euklid": fuer Primzahl p gilt: p|ab -> p|a oder p|b ([4]) (Punkt 1 wird dort "Zweiter Satz von Euklid" genannt)
4. "Satz von Euklid": Wenn 2ⁿ-1 eine Primzahl ist, dann ist (2^n-1)*(2ⁿ-1) vollkommen. ([5])

Der Primzahl-Satz wird in den Texten, die ich gefunden habe, stets nur mit Euklids Beweis angegeben. Aber du hast recht, Coma, als Satz sollte nur die Aussage bezeichnet werden, nicht ihr Beweis. Was machen wir da nun? --SirJective 13:26, 5. Mai 2004 (CEST)

Mir ist das ja auch schon aufgefallen. Es heißt "Satz von Euklid" und es heißt "Satz von Thales". Beide heissen sie Sätze, aber beide sind sie etwas völlig unteschiedliches. Das der "Satz von Euklid" ein Beweis ist, steht dabei ausser Frage. Soll man jetzt den "Satz von Euklid" in Beweis von Euklid" umbebennen.

Übrigens, die anderen Beweise, bezüglich der unendlichen Anzahl von Primzahlen sind durchaus nicht Variationen des Beweises Von Euklid. Insbesondere ist es der Beweis von Goldbach nicht. --Arbol01 13:43, 5. Mai 2004 (CEST)

"Prinzipiell unterscheidet man immer eine Aussage (also einen Satz, eine Vermutung) von einem Beweis, der eine Vermutung zu einem Satz werden lässt."

Huch? Was ist denn jetzt der "Satz" - die Vermutung oder der Beweis? Natürlich letzteres! Ein Satz (Mathematik) ist eine bewiesene Vermutung. Wo ist das Problem? --Modran 22:58, 24. Sep 2004 (CEST)

größte Primzahl und unendlich viele Primzahlen

Hallo Arb01,

Du schreibst

Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Dies ist identisch mit der Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Im Allgemeinen kann man so nicht folgern. Gegenbeispiel: Die Aussage "Es gibt keine größte durch 10 teilbare Primzahl" impliziert NICHT "Es gibt unendlich viele durch 10 teilbare Primzahlen". Richtig ist vielmehr: Es gibt überhaupt keine durch 10 teilbare Primzahlen.

Obiges Folgerungs-Prinzip kann man so retten:

Es gibt mindestens eine Primzahl UND es gibt keine größte Primzahl <==> Es gibt unendlich viele Primzahlen.

tsor 20:38, 3. Mai 2004 (CEST)

Hallo Tsor,

"Du schreibst

Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Dies ist identisch mit der Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. "

Nein, das habe ich nicht geschrieben. Ich habe es nur, wie eine Menge anderer Leute durchgehen lassen.

"::Es gibt mindestens eine Primzahl UND es gibt keine größte Primzahl <==> Es gibt unendlich viele Primzahlen."

An dieser, an und für sich richtigen Folgerung ist ein Haken. Wenn es keine Primzahl gibt, warum gibt es dann diesen Artikel über Primzahlen. Keiner bezweifelt die Existenz von Primzahlen. Die Frage, bis spätistens Euklid, war ob es endlich viele oder unendlich viele Primzahlen gibt. Und so ist die obige, zugegebenerweise etwas unglücklich formulierte Aussage korrekt. --Arbol01 21:23, 3. Mai 2004 (CEST)

Diese - auch in das Sieb des Eratosthenes eingegangene - Formulierung wurde uebrigens von Coma gewaehlt. Unter der Voraussetzung, dass die Existenz einer Primzahl bekannt ist, ist sie richtig. Arbols Neuformulierung ist mMn sogar besser als der Abschnitt, wie er vor Comas Aenderung war. --SirJective 12:23, 4. Mai 2004 (CEST)

"Wenn es keine Primzahl gibt, warum gibt es dann diesen Artikel über Primzahlen."

Bei dieser Frage übersiehst Du einen wichtigen Aspekt der Mathematik: Wenn Mathematiker Aussagen über ein Objekt machen, dann folgt daraus nicht, daß es dieses Objekt auch wirklich gibt. Und dies gilt nicht nur für Mathematiker, siehe Nihilartikel. Der Beweis dafür, daß es mindestens eine Primzahl gibt, muß also geführt werden - was allerdings trivial ist. ;) --Modran 23:07, 24. Sep 2004 (CEST)

Warum ist die 1 keine Primzahl - Sieb des Eratosthenes

Hab folgenden Absatz aus dem Artikel entfernt:

• Eine komplexere Antwort bietet das Sieb des Eratosthenes. Dieses ist ein Verfahren zum heraussieben von Nichtprimzahlen. Alle Zahlen sind zu Anfang Primzahlen. Die erste Zahl wird als Primzahl markiert, und daraufhin alle Vielfachen der Primzahl ausgestrichen. Danach wird die erste nicht ausgestrichene Zahl als Primzahl markiert, und so weiter. Standardmässig beginnt man mit der 2, denn würde man mit der 1 als Primzahl beginnen, dann würde keine nicht ausgestrichene Primzahl mehr übrig bleiben.

Dies ist fuer mich keine Antwort auf die Frage. Das Siebverfahren funktioniert, weil die 1 keine Primzahl ist, nicht umgekehrt. Waere die 1 eine Primzahl, waere der Siebalgorithmus etwas anders. --SirJective 11:49, 4. Mai 2004 (CEST)

Das das Siebverfahren nur deswegen funktioniert, weil die 1 keine Primzahl ist, stellt doch keiner in Frage. Die Argumentation soll ja gerade darauf zielen, das die 1 keine Primzahl sein kann, weil sonst das Siebverfahren nicht funktionieren kann. Es soll die "Daumenschrauben" für "1 ist keine Primzahl"-Zweifler etwas enger schrauben. Mehr nicht. --Arbol01 12:02, 4. Mai 2004 (CEST)

Dieses Siebverfahren funktioniert, wenn 1 keine Primzahl ist. Wenn aber 1 eine Primzahl ist, funktioniert ein anderes Siebverfahren. Dieser Algorithmus ist mMn kein Argument fuer oder gegen die Primalitaet der 1. Ebensowenig wie "ohne die 0 gibt es kein neutrales Element der Addition in den natuerlichen Zahlen" fuer sich genommen kein Argument dafuer ist, die 0 zu den natuerlichen Zahlen hinzuzunehmen. --SirJective 12:23, 4. Mai 2004 (CEST)

Definition des Begriffs Primzahl

Wenn ich die alte Einleitung

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Teiler hat - nämlich 1 und die Zahl p selbst. Diese Definition impliziert, dass die beiden Teiler voneinander verschieden sind (durch das Wort „genau“).

mit der neuen vergleiche

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Teiler hat. Nämlich die 1 und die Zahl p für die 1<p gilt.

faellt mir auf, dass die Bedingung p>1 wieder drin ist, die durch die umstaendliche alte Formulierung vermieden werden sollte. Wenn wir diese Bedingung wieder drin haben, koennen wir gleich schreiben

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur die Zahlen 1 und p als positive Teiler hat.

--SirJective 12:23, 4. Mai 2004 (CEST)

Auch ich halte letzendlich diese Formulierung "Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur die Zahlen 1 und p als positive Teiler hat." für besser.

Das Problem ist ja immer, das irgendeinem Menschen diese Formulierung wieder nicht passt (Siehe Coma). --Arbol01 12:52, 4. Mai 2004 (CEST)

Ich hab jetzt beide verbreiteten Definitionen reingeschrieben. Ist es recht, dass ich die Liste der Primzahlen und der zusammengesetzten Zahlen reingeschrieben habe? --SirJective 14:23, 4. Mai 2004 (CEST)

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Die "auch für Laien geeignete" Definition

Eine Primzahl ist eine (positive) ganze Zahl, die nur durch die Zahl 1 und sich selbst (ganzzahlig) teilbar ist.

ist leider falsch, und das auch nach meinem Einschub, dass die Zahl größer als 1 sein muss:

Eine Primzahl ist eine ganze Zahl, die größer als 1 ist und nur durch die Zahl 1 und sich selbst (ganzzahlig) teilbar ist.

Denn ganzzahlig ist jede ganze Zahl auch durch -1 teilbar... Wolfgang1018, meinst du, wir finden irgendwann eine einfache richtige Definition? --SirJective 12:07, 22. Sep 2004 (CEST)

Deine Einwände, SirJective, sind berechtigt! Danke für die Berichtigung und den Hinweis. Weil hier schon lange um eine einfache, aber korrekte Definition für die Einleitung gerungen wird, habe ich nochmals mit mir gerungen und mir eine zwar etwas längere, aber dennoch einfache, gut nachvollziehbare Formulierung überlegt und diese auch gleich in dem anschließenden Beispiel und Gegenbeispiel berücksichtigt. Ich hoffe, wir sind damit einer einfachen richtigen Definition näher oder sogar ganz nahe gekommen. Wolfgang1018 13:12, 22. Sep 2004 (CEST)

Sollte im ersten Satz nicht "ganze Zahl" durch "natürlich Zahl" ersetzt werden? -- tsor 19:23, 24. Sep 2004 (CEST)

Mmmmhhhhh, würde ich irgendwie auch sagen. Obwohl die ganzen Zahlen nicht im Wiederspruch stehen. (-2) z.B. ist durch vier Zahlen teilbar, nämlich -2, -1, 1 und 2. --Arbol01 20:04, 24. Sep 2004 (CEST)

Von negativen Promzahlen habe ich auch noch nichts gehört oder gelesen. Bei der "Formellen Definition" ein paar Zeilen ist auch von "natürlichen Zahlen" die Rede. Vielleicht sollten wir hier noch ein paar Meinungen abwarten bevor wir die mühsam erarbeitete Formulierung abändern. -- tsor 21:13, 24. Sep 2004 (CEST)

Ich habe jetzt das erste ganze Zahl durch natürliche Zahl ersetzt. Ehrlich gesagt finde ich die ganze Definition zum kringeln. Ob die wirklich einfacher zu verstehen ist, wage ich zu bezweifeln. Aber sei es drum. --Arbol01 22:22, 24. Sep 2004 (CEST)

"Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die selbst größer als 1 ist und von allen ganzen Zahlen größer als Null nur durch die Zahl 1 und sich selbst (ganzzahlig) teilbar ist, d.h. dass das Teilen (die Division) nur bei diesen beiden Fällen genau aufgeht und kein Rest oder Bruchteil verbleibt."

Ist das wirklich Euer Ernst? ;)

Über 50 Worte, um simple Primzahlen zu definieren? Das geht auf keinen Fall! Ich überleg mir mal was... ;) --Modran 23:16, 24. Sep 2004 (CEST)

Der Unterschied zwischen "ganze Zahl größer als 1" und "natürliche Zahl größer als 1" ist eher gering ;) Wolfgang, welcher Begriff sollte Schülern eher bekannt sein, ganze Zahl oder natürliche Zahl? Oder kennen die nur "Zahl"?

Die -2 entspricht nicht der Definition einer Primzahl, aber die Begriffe "Primzahl" und "zusammengesetzte Zahl" sind auch nur für natürliche Zahlen definiert. Die formale Definition sollte also unangetastet bleiben.

Die Einleitung ist jetzt immerhin richtig. Vielleicht sollte man die Liste der ersten Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen mit an den Anfang verlegen, ist vielleicht zur Verdeutlichung hilfreich? --SirJective 23:20, 24. Sep 2004 (CEST)

Was spricht denn gegen: "Eine (natürliche) Zahl ist (genau dann) prim, wenn sie mindestens zwei verschiedene (natürliche) Teiler aufweist"?

Da dann die 1 ebenfalls Primzahl ist, würde man gegen die Eindeutigkeit einer Primfaktorzerlegung verstoßen. Das zieht einen Rattenschwanz von Sonderbetrachtungen in Beweisen nach sich. Die Definition "eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern" ist absolut üblich und für jeden Schüler verständlich. Warum soll man also künstlich das ganze aufbauschen?--herw, + 18:41, 28. Nov 2004 (CET)

Wobei man wieder darauf hinweisen müßte, daß in diesem Fall 0 nicht zu den natürlichen Zahlen gehört - und wir haben wieder dasselbe problem, nur auf einer anderen Ebene...

Letztlich ist die Mathematik keine Naturwisenschaft. Sie wählt beliebige Axiome und Definitionen aus einer unendlichen Fülle vom Möglichkeiten aus. Deshalb muß sie immer wieder zeigen, daß die wenigen von ihr ausgewählten Systeme eine praktische Relevanz haben. Ein System, in dem die 1 eine primzahl ist, ist viel trivialer als eins, in dem sie es nicht ist, denn in diesem System ist 1 die EINZIGE Primzahl!

Ein solches System lohnt nicht der weiteren Untersuchung, es gibt darin nichts mehr zu entdecken! Volkswirtschaftlich gesprochen kann man dafür keine Fördergelder bekommen, weil es nichts zu untersuchen gibt. Die Primzahlen (ohne 1) hingegen haben - anders als noch vor 100 jahren - plötzlich eine enorme wirtschaftliche Bedeutung (eben weil der simple Verzicht auf die 1 ein enorm Komplexes System erzeugt)! Ich bin zwar auch ein Freund von freier Information wie in Wiki, aber manche persönliche Daten DARF ich einfach nicht unverschlüsselt über das Inet schicken - und die Primzahlen sind derzeit unsere einzige Möglichkeit, eine sichere Verschlüsselung zur Verfügung zu stellen. --Modran 23:43, 24. Sep 2004 (CEST)

Dagegen spricht, dass 4 eine natürliche Zahl ist, die mindestens zwei verschiedene natürliche Teiler hat. ;)

Ob die 0 zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht ist für Primzahlen ausnahmsweise völlig irrelevant, da es sowieso nur um "natürliche Zahlen größer als 1" geht und die 0 sowieso nicht Teiler einer solchen Zahl sein kann.

Ja, Mathematik ist sehr willkürlich bei der Wahl der Axiome und Definitionen, trotzdem sehe ich nicht die Notwendigkeit einer praktischen Relevanz. Ich denke, es geht an dieser Stelle der Diskussion nicht darum, ob die 1 eine Primzahl ist (dafür gibt's nen anderen Abschnitt hier), sondern um eine möglichst verständliche Formulierung des allgemein anerkannten Primzahlbegriffs. --SirJective 00:38, 25. Sep 2004 (CEST)

Ups ;) ja, ok. Ich hab trotzdem eine Ergänzung gemacht, was hälst Du davon? --Modran 00:45, 25. Sep 2004 (CEST)

Ganz ehrlich? Wenig. Die Willkürlichkeit mathematischer Systeme gilt ja ganz allgemein, und Beispiele für den praktischen Nutzen der gewählten Definition sind schon da.

Aber ganz nebenbei würde mich die Definition interessieren, nach der die 1 eine Primzahl wird und das System sehr langweilig wird. --SirJective 01:02, 25. Sep 2004 (CEST)

Definition: eine natürliche Zahl ist genau dann Prima, wenn sie selbst ihr einziger ganz- äh, natürlichzahliger Teiler ist. Es darf, um es eindeutiger zu machen, keine natürliche Zahl geben, die mit einer oder mehreren ANDEREN natürlichen Zahlen multipliziert p ergiobt: genau dann ist p prima. In Folge ist die 1 eine prima Zahl, denn sie besitzt keinen anderen Teiler außer sich selbst. Darüber hinaus gibt es keine anderen prima Zahlen, denn jede andere natürliche Zahl besitzt die 1 als Teiler. Selbst die Null, falls vorhanden. Was soll man mit dieser Definitionen anfangen? Man kann noch nicht einmal eine Aufteilung der natürlichen Zahlen in Primafaktoren beschreiben, da der einzige in Frage kommende Faktor - die 1 - mit sich selbst multipliziert einfach sehr selbstverliebt reagiert. --Modran 04:37, 12. Mär 2005 (CET)

Ich verstehe. Interessant, wie eine leichte Abwandlung der Definition einen uninteressanten Gegenstand liefern kann :) Der von dir im September eingefügte Absatz erklärt zwar, warum wir bestimmte Definitionen nicht verwenden. Er erklärt aber nicht, warum die Definition nicht lautet "Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie höchstens zwei verschiedene natürliche Teiler hat". Diese würde alle Primzahlen und die 1 einschließen, aber die 0 ausschließen (weil sie unendlich viele Teiler hat), und diese oder eine äquivalente scheint ja diejenige Definition zu sein, die die meisten im Kopf haben, wenn sie die Frage "Warum ist eigentlich die 1 keine Primzahl?" stellen. RSA funktioniert auch mit dieser abgewandelten Definition, denn in der Praxis arbeitet man sowieso mit riesigen Zahlen, so dass die Primalität der 1 gar keine Rolle spielt.

Wie gesagt, ich halte wirtschaftliche Gründe oder die "praktische Relevanz" kaum für ausschlaggebend, wenn es um mathematische Definitionen geht (und außerdem stand die Definition einer Primzahl schon fest, lange bevor man einen "praktischen Nutzen" kannte). --SirJective 16:11, 23. Mär 2005 (CET)

Fermat's kleiner Satz kein Primzahltest an sich

Muß die Legende, das der kleine Fermat ein Primzahltest auf Wahrscheinlichkeit ist, auf Gedeih und verderb aufrecht erhalten werden? In den meisten Büchern, mal Abgesehen von "Zahlentheorie für Anfänger" das sein Geld nicht wert ist, wird der kleine Fermat, aus gutem Grund, nicht mal erwähnt (er ist ewig langsam). All diese Primzahltests auf Wahrscheinlichkeit umgehen den kleinen Fermat vollständig, und abeiten mit Legendre- und Jacob-Symbolen und anderen Methoden. Man kann mit dem kleinen Fermat einen wasserdichten Primzahltest basteln, den ich allerdings hauptsächlich als Pseudoprimzahl-Finder benutzt habe. --Arbol01 00:12, 18. Mai 2004 (CEST)

Link auf Primzahltest

Ich fände es praktisch, wenn der Link beim ersten Auftreten von Primzahltest gesetzt wird -- hinterher braucht man nicht unbedingt noch einen. Kommt halt drauf an, wie man den Artikel liest: nach dem Inhaltsverzeichnis käme man gleich auf das Kapitel, das eigentlich nur aus dem Verweis besteht, wenn man den Artikel von oben nach unten liest, begegnet man zuerst der Erwähnung von Primzahltests, die im Moment nicht verlinkt ist... gibt's da nicht noch ne bessere Lösung? --Pinguin.tk 11:11, 18. Mai 2004 (CEST)

Ich habe den Punkt, der die Primzahltests betrifft, nach oben (über die Primzahleigenschaften) verschoben. Damit tritt nun der Link "Primzahltest" als erstes auf. --Arbol01 11:35, 18. Mai 2004 (CEST)

neues

Ben Green von der der University of British Columbia in Vancouver und Terence Tao von der Univerity of California in Los Angeles konnten beweisen das es unendlich viele Primzahlen gibt die einen gleichen abstand voneinander haben. Z.B. 6,8,10,... hat immer den abstand 2 . Es handelt sich um einen existenbeweis er enthält keine anweisung wie man eine dieser zahlen berechnen kann. Übrigen die längste bekanntes reihe beinhaltet 22 zahlen(11 410 337 850 553, 16 019 436 544 753,usw.) quelle geo 10/2004 seite 206 Luk 18:13, 16. Sep 2004 (CEST)

Da kommt der gute Ben Green und Terence Tao ca 100 Jahre zu spät. Das hat schon Dirichlet bewiesen, auch als Satz von Dirichlet bekannt.

Das ist so nicht richtig: Der Satz von Dirichlet besagt, dass es für teilerfremde natürliche Zahlen a und b unendlich viele Primzahlen der Form k*a + b gibt. All Primzahlen dieser Form haben voneinander jeweils einen Abstand, der ein Vielfaches von a ist. Daraus folgt aber nicht, dass es ein a und ein b gibt, so dass alle Zahlen der Form k*a + b Primzahlen sind - und so verstehe ich die Behauptung. Leider hab ich das genannte Geo-Magazin nicht, um zu prüfen, ob ich das richtig verstanden habe. --SirJective 21:42, 15. Okt 2004 (CEST)

Das paper von Green und Tao wird leider von verschiedenen Medien (darunter auch GEO und NZZ) falsch zitiert. Unendlich lange arithmetische Folgen von Primzahlen (also Folgen, in denen aufeinanderfolgende Einträge immer den selben Abstand haben), kann es natürlich nicht geben. Wenn man mit einer Zahl z>1 beginnt, und immer wieder einen fixen Abstand d>0 hinzuzählt, erhält man z, z+d, z+2d, z+3d, etc. Spätestens die Zahl z+zd ist dann keine Primzahl mehr.

Was Green und Tao bewiesen haben: Es gibt beliebig lange arithmetische Folgen von Primzahlen. Also zum Beispiel eine arithmetische Folge der Länge 100. Und auch eine der Länge 1000. Und so weiter.

(Daraus folgt natürlich leicht, dass es zum Beispiel unendlich viele arithmetische Folgen der Länge 100 gibt.)

Nachzulesen unter [6]

Wuzel 01:53, 17. Okt 2004 (CEST)

Primzahl-Lücken

Umgekehrt ist n!+1 sicher eine Primzahl, denn analog kann man hier den Beweis von Euklid verwenden, der zeigt, dass es keine höchste Primzahl gibt.

Diese Folgerung ist falsch. Nicht, das es eine größte Primzahl gäbe, aber n!+1 kann das Produkt zweier Primzahlen sein, die beide, jeder für sich, größer als n sind:

4!+1 = 25, 5!+1 = 121, 6!+1 = 7*103, 7!+1 = 71*71, 8!+1 = 61*661, ...

Das Gegenteil scheint der Fall zu sein, nämlich das n!+1 eher eine zusammengesetze Zahl ist, denn eine Primzahl. --Arbol01 16:34, 12. Dez 2004 (CET)

Nachtrag: Die nächtste Primzahl der Form n!+1 ist nach 3!+1 die 11!+1. --Arbol01 16:35, 12. Dez 2004 (CET)

Das geht ja heiß her in dem Abschnitt. *gg*

Kann jetzt bitte noch jemand die zweite Tabelle erklären, insbesondere den Tabellenkopf?

			theoretische Lücke			praktische Lücke
n	n!+2	n!+n	$l_{th}$	$u_{th}$	$o_{th}$	$l_{pr}$	$u_{pr}$	$o_{pr}$

--SirJective 20:39, 12. Dez 2004 (CET)

Gerne:

theoretische Lücke und praktische Lücke meint, das dem Verfahren theoretisch eine Lücke nach n!+2 ... n!+n, diese Lücke (n-1) Nichtprimzahlen enthält, sie praktisch mindestens genauso groß ist, häufig aber größer.

Es soll kein Beweis für etwas darstellen, sondern nur ein paar schöne Beispiele. l ist die Größe der Lücke, u die untere Grenze und o die obere Grenze.

Nochmal zu Rat: Mit einer Nichtprimzahl ist 2!+2 = 4 der einzige Fall, wo die Lücke nach der Formel das einzige mal, als erste maximale Lücke auftritt. Bei allen anderen Lückel n!+2 ... n!+n gibt es immer wenigstens einen Fall, wo eine Lücke mit (n-1) Nichtprimzahlen vorher vorkommt. Das rechtfertigt ein fast nie --Arbol01 21:01, 12. Dez 2004 (CET)

Meine Formulierung "nicht notwendig(erweise)" ist bereits durch ein Beispiel bestätigt. Für fast alle müsste man zeigen, dass die Lücke "4" tatsächlich die einzige ist bzw. dass es darüberhinaus nur endlich viele weitere gibt. Ich sehe auch, dass diese Vermutung offensichtlich richtig ist. "Das sieht man doch!" ist aber kein Beweis. In der Mathematik sollte man pingelig sein. Das macht ihren Reiz aus. --Rat 21:17, 12. Dez 2004 (CET)

Ich weiß nicht, ob es einen Beweissatz gibt. Ich sehe es so, es kommt endlich mal vor (praktisch mehr als einmal), das der Fall das erste Mal vorkommt, und unendlich oft, das der Algorithmus eben nicht das erste mal liefert. Endlich durch Unendlich = 0. Nebenbei, wie wichtig ist der Punkt, um den sich gestritten wird eigentlich. Viel wichtiger, unf frappanter ist doch, das Ralf Pfeifer, der das ganze Verfahren auf das Tablett gebracht hat, zurecht dieses Verfahren im Artikel erwähnt hat. --Arbol01 21:31, 12. Dez 2004 (CET)

Der Punkt ist vollkommen unwichtig. Daher streite ich auch nicht darüber. Deine Änderungen heute zwischen 16:27 und 18:10 deuten aber darauf hin, dass du auf eine schlüssige Argumentation Wert legst. Dass der Algorithmus unendlich oft nicht das Erstvorkommen liefert, ist zunächst mal eine Vermutung. Dafür spricht lediglich, dass du und ich außer 4 noch keinen weiteren Fall gefunden haben (vermutlich haben wir auch beide nicht gesucht, da es ja so offensichtlich ist). Wer sagt aber, dass das ab 10^10^10 immer noch so ist? Wenn ab dann immer das Erstvorkommen geliefert würde, könnte man eben nicht "so gut wie nie" sagen. Und dann nutzt auch das <frier>Endlich durch Unendlich = 0</frier> nichts mehr, mit dem man aus 2 Gründen nichts anfangen kann. a) du schließt aus der vermuteten Unendlichkeit auf die Richtigkeit deiner Vermutung und kommst damit b) auf eine falsche Aussage, die durch Umformung 0 mal Unendlich = Endlich ergibt. Aus der falschen Aussage schließt du auf "so gut wie nie". Du kannst auch jeden anderen Schluss ziehen. Ex falso quodlibet. So und jetzt ist genug Oberlehrer für heute ;-) --Rat 22:17, 12. Dez 2004 (CET)

Deine Änderungen heute zwischen 16:27 und 18:10 deuten aber darauf hin, dass du auf eine schlüssige Argumentation Wert legst. - Treffer, versenkt. Du hast natürlich recht, ich lege an und für sich wert auf eine schlüssige Argumentation, wobei ich natürlich wußte, das n!+1 nicht zwangsläufig eine Primzahl ist. Was viel schwerer wiegt, und darauf spielst Du an, ich habe Ralf Pfeifer die Goldbach-Vermutung nicht als Eigenschaft durchgehen lassen. Also schön, ich ändere es wieder auf die schwache Version. Was mich persönlich ärgert ist, daß ich Ralf Verfahren zum generieren von beliebig großen Primzahl-Lücken (ungeprüft) angezweifelt habe. Er hat zwar 1 1/2 mal in das Klo gegriffen, was aber nicht bedeutet, das er immer in das Klo greift. So etwas verzeihe ich mir fast nie. Hoffentlich hat ihn das nicht abgeschreckt. --Arbol01 22:28, 12. Dez 2004 (CET)

kgv

Im Artikel steht mehrmals "kgv(2,...)" ohne Erklärung, was das ist. -- Martin Vogel $\circ$ 15:53, 13. Dez 2004 (CET)

Asche auf mein Haupt: kleinstes gemeinsames vielfaches. Ich verlinke wenigstens eines davon noch. --Arbol01 17:02, 13. Dez 2004 (CET)

Noch eine Erläuterung: Warum kann man statt n!+2 bis n!+n, kgv(1,..,n)+2 bis kgv(1,..,n)+n benutzen? Der kgv(1,...,n) enthält, ebenso wie n! jeden Teiler von 2 bis n. --217.233.224.201 17:59, 13. Dez 2004 (CET)

Und schon ist offensichtlich, dass das "Fakultätsverfahren" außer im Fall 2!+2 nie das erste Vorkommen einer Lücke vorgegebener Mindestlänge liefern kann, da das "KGV-Verfahren" stets ein noch früheres Vorkommen angibt (allerdings wohl wieder nicht das erste).

Allerdings drängt sich mir die Frage auf, ob diese Beobachtungen noch in den Hauptartikel gehören, oder nicht vielleicht doch woanders hin (Unterseite? Diskussion?). --Rat 20:40, 13. Dez 2004 (CET)

Das Verfahren als Alternative zur Fakultät sollte erhalten bleiben. Auf die etwas flapsige Bemerkung dazu kann ich getrost auch verzichten. --Arbol01 20:45, 13. Dez 2004 (CET)

fakultät gegen kgV

Es stimmt, der (das) kgV liefert gegenüber der Fakultät die früheren Lücken. Genau betrachtet, sind aber bei der Fakultät die vier ersten praktischen Lücken genau die, die in der Wirklichkeit zum ersten mal auftauchen, während das bei dem kgV nicht so ist. Das Verfahren mit dem kgV spielt seine Vorteile erst ab kgV(1,..,6) aus, wenn die Lücke bei 6! zwischen 721 und 727 liegt, während bei kgV(1,..,6) die Lücke zwischen 61 und 67 liegt. Die beiden ersten Lücken, 2! und 3! bzw. kgV(1,..,2) und kgV(1,..,3), sind identisch. Arbol01 21:19, 13. Dez 2004 (CET)

Eigenschaften von Primzahlen

Ich finde, das der Abschnitt Eigenschaften von Primzahlen etwas unstrukturiert ist. So finden sich gerade am Anfang Dinge, die meiner Meinung nicht dort hingehören, wie Dewdneys Wertschätzng der Primzahl oder das sich jede zusammengesetzte Zahl als Produkt von Primzahlen darstellen läßt. Meine Einschübe müßten AFAIK ebenfalls gegliedert werden. Bevor ich mich aber über den Abschnitt hermache, würde ich gerne wissen, der Rest so meint. --Arbol01 20:28, 14. Dez 2004 (CET)

Tabellen

Es ist schön, wenn man Tabellen erweitert, aber sie sollten so einfach wie möglich sein, und eine Tabelle sollte IMO nicht mehr als genau die Größe eines Bildschirms besitzen. Ansonsten wird die Tabelle unübersichtlich.

Was den Verweis auf andere Artikel angeht, sollte der Artikel, auf den verwiesen wird auch existieren. --Arbol01 14:36, 25. Feb 2005 (CET)

Nachtrag: Vorschlag zur Güte: Lege in www.wikisource eine Tabelle der Primzahllücken an, und verweise auf diese Tabelle. In Wikisource können die Tabellen beliebig groß sein. --Arbol01 14:41, 25. Feb 2005 (CET)

Verlagerte Diskussion

Folgende Diskussionsbeiträge warem im Artikel als HTML-Kommentar versteckt:

• !-- Eine Liste der Primzahlenlücken ist hier zu finden. --

Benutzer:213.68.175.4

• !-- Von einem eigenen Artikel Liste der Primzahllücken in der Wikipedia selbst würde ich abraten. Mir ist es egal, aber sie wird wahrscheinlich schnell von jemand anderem auf die Löschliste gesetzt

Benutzer:Arbol01

• !-- Es gibt einen Artikel Primzahlenlücke. Der Sollte hier verlinkt werden und der nachfolgende Bereich ggf. gekürzt werden. Ich kenne mich zu wenig aus, um es selbst zu machen. -- Benutzer:Stern

--

Pjacobi 16:27, 25. Feb 2005 (CET)

Wenn schon denn schon in der richtigen Zeitlichen Reihenfolge, und hier noch etwas von mir, auf Sterns Diskussionsseite:

Hallo Stern, dieser Artikel ist erst heute dadurch entstanden, da dem anonymen IP nicht gefallen hat, das mir seine Gestaltung der Tabelle der Lücken zwischen den Primzahlen nicht gefallen hat, und ich meine Version wieder hergestellt habe.

Ich wäre durchaus bereit, den Teil aus dem Artikel Primzahl auszulagern, und in den neuen Artikel einzuarbeiten. Nur ich würde auf meine Version der Tabelle bestehen, da diese kompakter ist, und ich bin mir auch nicht sicher, ob das Lemma "Primzahlenlücke" korrekt ist. --Arbol01 16:11, 25. Feb 2005 (CET)

Ob der Teil ausgelagert wird, ist mir ehrlich gesagt egal. Ich nehme nur alle HTML-Kommentare aus Artikeln heraus, wo ich über sie stolpere.

Ich habe hier die Tabellen umformatiert, damit auch bei kleineren Fensterbreiten kein horizontaler Scrollbar nötig ist, leider kein 100%-ger Erfolg, da die kgv Tabelle schon für sich alleine sehr breit ist.

Pjacobi 16:53, 25. Feb 2005 (CET)

Muß das sein? Ich habe lieber 4 Tabellen nebeneinander und eine Scrollbar, als keine Scrollbar und dieses Desaster. Ich werde also eine Übertabelle drüberstülpen! --Arbol01

Wenn Dein Fenster breit genug ist, sind die Tabellen alle nebeneinander. Nur bei schmalerem Fenster kommen sie untereinander. --Pjacobi 17:15, 25. Feb 2005 (CET)

Ooops, da hat ja jemand einen Teil gelöscht... Habe ich wieder revertiert. --Pjacobi 17:17, 25. Feb 2005 (CET)

Ich war es zwar nicht, aber ich bin ihm, wer auch immer es war, nicht böse. Wenn Du es noch nicht festgestellt hast: nicht jeder hat 1024x768 Auflösung oder größer. Und eine vierte Tabelle versetzt unter drei anderen Tabellen sieht sch.. aus. --Arbol01 17:37, 25. Feb 2005 (CET)

Ich teste solche Formatierungen immer mit 800x600 und finde die Seite OK, wenn uns vielleicht noch eine Möglichkeit einfällt, die kgv Tabelle etwas schmaler zu bekommen. --Pjacobi 17:39, 25. Feb 2005 (CET)

Theoretische und praktische Lücke

Da momentan eifrig an diesem Abschnitt geschraubt wird, möchte ich auch meinen Senf dazu loswerden: Mir gefallen die Begriffe theoretische Lücke und praktische Lücke gar nicht. Denn die Lücke zwischen zwei Primzahlen hat eine bestimmbare, feste Größe, weshalb mir die Begriffe theoretische und praktische Lücke etwas gekünstelt vorkommen.

Mein Vorschlag ist, den Begriff praktische Lücke einfach durch Lücke zu ersetzen und anstelle von theoretische Lücke etwas im Stil von untere Schranke zu schreiben.

Was denken andere?--MKI 10:00, 26. Feb 2005 (CET)

Ich finde den Begriff Schranke erst recht gekünstelt. Wie wäre es mit berechnete Lücke und tatsächliche Lücke ? --Arbol01 10:05, 26. Feb 2005 (CET)

Der Begriff Schranke ist aber in der deutschsprachigen Mathematik der Standardbegriff für solche Abschätzungen. Dein Änderungsvorschlag ist deutlich besser als der jetzige Artikel. Schranke wäre in meinen Augen aber noch angebrachter, weil es wie gesagt in diesem Bereich dem üblichen Sprachgebrauch entspricht.--MKI 10:57, 26. Feb 2005 (CET)

Vergiß bitte nicht, das wir es hier größtenteils mit Nichtmathematikern zu tun haben, die Wikipedia benutzen sollen. Nebenbei habe ich auch meine Schwierigkeiten mit Schranken. Genauewr gesagt habe ich das mit den oberen und unteren Schranken nie so richtig kapiert, wenn überhaupt. --Arbol01 11:21, 26. Feb 2005 (CET)

zur Erzeugung von Primzahllücken mittels kgV

Die Erzeugung von Primzahllücken mit dem kgV lässt sich sofort verbessern: Eine Lücke der Länge n erhält man so: Sei $\mathbb {P}$ die Menge der Primzahlen und $M:=\mathbb {P} \cap \{1,2,\ldots ,n+1\}$. Mit $m:=\prod _{p\in M}p$ sind dann die $n$ Zahlen $m+2$ bis $m+n+1$ alle zusammengesetzt.

Es ergibt sich beispielsweise, dass die Zahlen 212 bis 220 eine Lücke der Länge 9 bilden. Die kgV-Methode liefert laut Tabelle für eine Lücke der Länge 9 die Zahlen 2522 bis 2530.

Ich habe ein wenig den Eindruck, dass hier ein paar Leute selber rumgerechnet und ihre Resultate in den Artikel eingefügt haben. So ist die Wikipedia aber nicht gedacht.

Die Fakultät-Methode ist in Ordnung, weil sie ein schnelles Argument dafür liefert, dass die Lücken beliebig groß werden. Ob die dazugehörige Tabelle unbedingt nötig ist, ist eine andere Frage. Aber die kgV Methode ist mit Sicherheit ein "privates Forschungsergebnis" und hier deplaziert, denn die Verbesserung, die ich oben hingeschrieben habe, liegt eigentlich auf der Hand, wenn man die kgV-Methode verstanden hat. Wenn man wirklich eine gute Erzeugungsmethode für Primzahllücken in dem Artikel haben will, dann sollte mindestens diese Verbesserung im Artikel auftauchen und nicht die kgV-Methode. Allerdings handelt es sich auch in diesem Fall um eine kurze Rechnerei meinerseits, ich weiß nicht, ob es noch bessere, ähnlich effiziente Methoden zur Erzeugung von Primzahllücken gibt. Darum bin ich der Meinung, dass die kgV-Methode aus dem Artikel rausgenommen werden sollte und derjenige, der eine gute Erzeugungsmethode im Artikel sehen möchte, mal schaut was es in der Literatur zu diesem Thema gibt.--MKI 10:57, 26. Feb 2005 (CET)

Im Augenblick nervst Du. Erkläre deine Methode bitte so, das man sie auch nachvollziehen kann. Wenn sie wirklich praktikabel ist, wenn sie also wirklich effizienter als kgv ist, wäre das ein Wunder erster Güte.

Warum kgv (von mir) reingebracht worden ist, liegt daran, das kgv weniger Redundanzen als die Fakultät besitzt.

Beispiel:

7! ist teilbar durchgehend telbar durch 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, und 10, und ergibt 5040

kgv(1,2,3,4,5,6,7) ist dagegen durchgehend teilbar durch 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 und ergibt nur 420, ist also wesentlich kompakter. Wie Du es much kompakter machen möchtest, will ich sehen.

Das ich getüftelt habe spielt dabei keine Rolle, da es auch auf die korrektheit ankommt, und nicht rein auf den Verbreitungsgrad. --Arbol01 11:41, 26. Feb 2005 (CET)

Was soll denn dieser Ton? Hast du überhaupt probiert das Schema nachzuvollziehen? Setz doch einfach mal n=9 und probiere aus was passiert.

Dass das kgV-Schema von dir stammt, wusste ich nicht (ich dachte es wäre von der IP, die in den letzten Tagen an dem Artikel etliche Änderungen vorgenommen hat. Ich sage das, damit du nicht denkst, ich hätte es auf dich abgesehen. Es ändert aber nichts an meiner Meinung, dass das kgV-Schema hier eigentlich nichts verloren hat.

Zu deinem Beispiel: Multipliziere alle Primzahlen kleinergleich 10, da kommt 2*3*5*7 = 210 raus. 210 ist dann durch alle Primzahlen kleinergleich 10 teilbar, und das reicht dafür aus, dass die Zahlen 210+2, 210+3, 210+4, 210+5, 210+6, 210+7, 210+8, 210+9 und 210+10 alle zusammengesetzt sind, also eine Primzahllücke der Länge 9 ergeben.--MKI 12:01, 26. Feb 2005 (CET)

Ich habe halt das Gefühl, du willst einem (mir) nur Knüppel zwischen die Beine werfen.

Ich will dir keine Knüppel zwischen die Beine werfen, bestimmt nicht. Aber scheinbar gibt es eine große Überschneidung von unseren Beobachtungslisten, und da du zudem in der Regel sehr schnell auf Änderungen/Diskussionsbeiträge reagierst, begegnen wir uns hier zwangsweise öfter. Ich denke du musst zugeben, dass die Sachen, die ich bis jetzt angemahnt habe, doch immer eine Berechtigung hatten.

Wenn du dich in dieser Hinsicht von mir unfair behandelt vorkommst, dann schreib es mir bitte sachlich in meine Diskussionsseite rein und wahre in den Diskussionen einen angemessenen Ton.--MKI 13:12, 26. Feb 2005 (CET)

Multipliziere alle Primzahlen kleinergleich 10, da kommt 2*3*5*7 = 210: Das verstehe ich wiederum. Ob es so einfach sein kann weiß ich nicht. Dein Schema weicht von dem der Fakultät ab. Es ist nachvollziebar, das n!+2 durch 2 teilbar, n!+3 durch 3 teilbar ... n!+n durch n teilbar ist. Das gleiche gilt auch für kgv(1,..n).

212 ist durch 2 teilbar, 213 durch 3, 214 nicht durch 4, 218 nicht durch 8 und 219 nicht durch 9 teilbar. Das die Lücke zwischen 212 und 220 aus Nichtprimzahlen besteht, könnte schon Zufall sein. Gibt es eine Begründung für deine Annahme. Ich teste deinen Algorithmus mal durch.

Ich versuche, meinem Schema eine verständliche Begründung zu geben: Du multiplizierst alle Primzahlen kleinergleich n zusammen, das Ergebnis sei a, und a ist durch alle Primzahlen kleinergleich n teilbar. Für eine solche Primzahl p ist dann a+p sicher nicht prim, weil beide Summanden durch p teilbar sind. Sei nun m eine zusammengesetzte Zahl mit 2 < m <= n. Dann ist m auch durch eine Primzahl p kleinergleich n teilbar. Da a durch alle Primzahlen kleinergleich n teilbar ist, ist auch a+m durch p teilbar, und auch in diesem Falle ist a+m eine zusammengesetzte Zahl. Also sind die Zahlen a+2,..., a+n eine Primzahllücke der Länge n-1.--MKI 13:12, 26. Feb 2005 (CET)

Ach ja, ein Nachteil deines Systems ist auch, das der Computer/Mensch die Primzahlen kenne muß. --Arbol01 12:32, 26. Feb 2005 (CET)

Das ist kein Nachteil, glaube ich. Denn alle Primzahlen in einem Bereich lassen sich effizient mit dem Sieb des Eratosthenes berechnen. Die bei der anschließenden Multiplikation entstehenden Zahlen wachsen exponentiell mit der Größe dieses Bereichs. Und da in meinem Verfahren im Gegensatz zu dem kgV-Verfahren Faktoren einspart, fallen einige der Multiplikationen dieser großen Zahlen weg, was wieder erheblich Laufzeit einspart. Wahrscheinlich wird das Verfahren für große n dadurch gegenüber dem kgV (das im übrigen zur Berechnung auch seine Zeit braucht) sogar schneller. Genau durchgerechnet habe ich das aber nicht.--MKI 13:12, 26. Feb 2005 (CET)

Um meinen gerechten Teil der Haue abzubekommen: Wenn sich die kgV Methode als weniger relevant erweist, wären wie wenigstens die breite Tabelle los! --Pjacobi 12:08, 26. Feb 2005 (CET)

Das könnte Dir so passen. --Arbol01 12:32, 26. Feb 2005 (CET)

Meinen Senf auch noch dazu: Ich finde es bemerkenswert, dass der umfangreichste Unterabschnitt im Artikel Primzahl von den Bereichen handelt, in denen keine Primzahlen vorkommen. Insbesondere da es einen eigenen Artikel Primzahllücke gibt, in dem das Gleiche noch einmal durchgekaut wird. Meiner bescheidenen Meinung nach (IMHO) könnte man die Tabellen gänzlich einsparen und auf den ausführlicheren Artikel verweisen. --Rat 17:58, 26. Feb 2005 (CET)

Primzahl-Formel

Eine "Formel" zur "Berechnung" aller Primzahlen --Gunther 16:05, 27. Feb 2005 (CET)

Ich dachte, es gibt keine Formel zur Berechnung aller Primzahlen?! Oder doch? -- CdaMVvWgS 22:11, 22. Apr 2005 (CEST)

Deshalb die Anführungszeichen: Es gibt ein Polynom (in mehreren Variablen), für das gilt, dass eine natürliche Zahl genau dann eine Primzahl ist, wenn sie Funktionswert des Polynoms für ganzzahlige Werte der Argumente ist. Über die negativen Funktionswerte ist nichts ausgesagt. Man kann also systematisch alle Funktionswerte durchgehen; die positiven liefern genau die Primzahlen.--Gunther 22:25, 22. Apr 2005 (CEST)

Ich bilde mir ein gelesen zu haben, dass überhaupt keine Belegung bekannt ist, für die dieses Polynom einen positiven Wert liefert. Stimmt das?--MKI 03:19, 23. Apr 2005 (CEST)

"Genau dann, wenn"

Zulässige Formulierungen sind:

• "...ist genau dann eine Primzahl, wenn..."
• "...wird Primzahl genannt, wenn..."
• Wenn explizit dasteht, dass etwas definiert wird: "...ist eine Primzahl, wenn...".

Nicht gut:

• "...ist Primzahl, wenn..." (ohne explizite Erwähnung einer Definition)
• "...wird genau dann Primzahl genannt, wenn..." (das Nennen ist keine mathematische Aussage)

Der dritte akzeptable Punkt oben ist im konkreten Fall nicht gegeben, weil es sich um zwei Bedingungen handelt, und nur eine davon kann die Definition sein.

"Alternative Formulierung" finde ich nicht gut, weil nicht nur umformuliert wird. Aus der Tatsache, dass eine Zahl genau zwei Teiler hat, auf die zwei Teiler zu kommen, ist zwar nicht schwierig, aber nicht nur eine Frage der Formulierung.--Gunther 02:17, 28. Mär 2005 (CEST)

Es ging mir hierbei nicht um Worte (Formulierungen), sondern einzig um die Sache (kurze und treffende Definition des Begriffs "Primzahl").

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: "(Alternativ: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern.)" Das stelle ich hier zur ernsthaften Diskussion. Alle vorherigen (meine eingeschlossen) Definitionen beginnen mit einer indirekten Erklärung: ...wird Primzahl genannt...

Aber in einer Enzyklopädie müssen wir _direkte_ Erklärungen geben, deshalb dieser Beitrag.

Ich hatte die Änderung des anonymen Benutzers von genau dann, wenn zu wenn rückgängig gemacht, da es weitere solche Stellen im Artikel gab, die nicht geändert wurden. Wenn jemand eine konsistente Änderung vornimmt habe ich nichts dagegen. Außerdem erschien mir dieser Benutzer aufgrund von einer anderen Änderung (A-Primzahl) als unseriös.

Für "weitere Definitionen" schlage ich eine Formulierung in der Art Die Primzahlen lassen sich auch durch folgende Eigenschaft charakterisieren: vor.--MKI 11:47, 28. Mär 2005 (CEST)

"Außerdem erschien mir dieser Benutzer aufgrund von einer anderen Änderung (A-Primzahl) als unseriös." Ich muß an dieser Stelle offenbaren, daß dieser betreffende Benutzer (der mit den ominösen "A-Primzahlen") der gleiche Benutzer ist, der alle letzten Verfeinerungen und Präzisierungen der Definition von "Primzahl" in diesem Wiki-Artikel vorgenommen hat, nämlich

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Die unsinnigen "A-Primzahlen" sind natürlich testhalber vorgeschlagen worden. Die direkte Definition "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern.", die an Prägnanz schwer zu überbieten sein dürfte, und meine anderen, vorhergehenden indirekten Definitionen hingegen sind ebenso kurz wie verständlich und korrekt. Ich freue mich auf prägnantere Definitionen.

Es ist immer erfreulich, wenn sich neue Mitarbeiter finden. Ein Tip zum Umgang mit Deinen Mitautoren: Wenn deutlich wird, dass es unterschiedliche Auffassungen zu einer Frage gibt (im konkreten Fall haben drei verschiedene Benutzer Deine Änderungen jeweils rückgängig gemacht), ist es sinnvoller, die Frage auf der Diskussionsseite zu klären, bevor man weitere Änderungen vornimmt. Ansonsten besteht die Gefahr, einen unseriösen Eindruck zu machen, auch wenn die Änderungen für sich vielleicht ihre Berechtigung hatten. Die Artikelseite zu Testzwecken zu missbrauchen ist ebenfalls nicht hilfreich.

Wenn Du Dich nicht als fester Benutzer anmeldest, hast Du es ohnehin etwas schwerer. Es ist leider so, dass es viele unangemeldete Benutzer gibt, die glauben, sich mit einem "hihi" o.ä. auf einer Artikelseite verewigen zu müssen.

--Gunther 10:32, 30. Mär 2005 (CEST)

Verstanden: Aus den von Dir genannten Gründen habe ich meine letzte Änderung des Abschnitts "Formale Definition" hier zur Diskussion gestellt. Falls sich jemand an der in Klammern gesetzten Alternativdefinition im Artikel stören sollte (oder gar etwas Falsches daran findet), dann wird er/sie diese Zeile ohnehin löschen. Ich habe damit kein Problem.

Ich bin in der Tat kein registrierter Wiki-Beiträger und habe meine Gründe dafür. Da meine Beiträge hier stets mit meinem vollen Namen und meiner E-Mail-Adresse versehen sind, wird niemand mich als anonymen Benutzer verstehen können. Es bleibt noch viel zu verbessern im Artikel "Primzahl". Laßt uns gemeinsam daran arbeiten.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Mein Kürzel für die Zusammenfassung wird künftig lauten ROHA

"Siehe auch" entrümpeln

Derzeitiger Inhalt von "Siehe auch":

• Primzahlsatz: raus, steht schon oben
• Faktorisierung: ok
• Ungelöste Probleme der Mathematik: was hat das direkt mit Primzahlen zu tun? Dass dort nur ein paar Probleme der elementaren Zahlentheorie aufgelistet sind, ist kein Grund.
• Sieb des Eratosthenes: ok
• Zeisel-Zahl: unwichtig, raus
• Liste besonderer Zahlen: Bezug?
• Portal Mathematik: ok
• Pseudoprimzahlen: ok, vielleicht aber besser unter "Verallgemeinerungen"
• Giuga-Zahl: besser unter "Verallgemeinerungen"
• Primzahllücke: hat schon einen eigenen Abschnitt, der mit "Verteilung" vereinigt werden sollte. Arbol, warum soll das stehenbleiben?
• Eisenstein-Zahlen: sehe keinen direkten Bezug
• Gauß'sche Zahlen: sollte in einen Abschnitt über Primzahlen der Formen 4k+1 und 4k+3

Kommentare, Einsprüche?--Gunther 14:41, 2. Mai 2005 (CEST)

Ich habe keine Problem mit der Siehe auch-Entrümpelung. Pseudoprimzahl, Carmichael-Zahl und Giuga-Zahl laufen schon unter Eigenschaften (der Primzahlen).

Primzahlen der Form 4k+/-1 und 6k+/-1 laufen ebenfalls unter Eigenschaften. Demnach würden die Gaußschen Zahlen dorthin gehören.

Sieb des Erathostenes ist schon in dem Abschnitt Primzahltest abgehandelt. --Arbol01 15:37, 2. Mai 2005 (CEST)

Möbius-Funktion

Hallo Gunther,

was hat Dir denn an der Möbius-Funktion Missfallen? --Arbol01 18:33, 14. Mai 2005 (CEST)

Es ist nicht gerade eine "Eigenschaft" von Primzahlen, dass $\mu (p)=-1$ ist. Das ist eine Eigenschaft der Möbius-Funktion, die zum Verständnis des Begriffes "Primzahl" nichts beiträgt.--Gunther 01:46, 15. Mai 2005 (CEST)

Euklid

...zeigt nicht direkt, dass man aus endlich vielen Primzahlen eine größere konstruieren kann, sondern nur, dass es weitere geben muss.--Gunther 02:05, 21. Mai 2005 (CEST)

..."zeigt nicht direkt, dass man aus endlich vielen Primzahlen eine größere konstruieren kann, sondern nur, dass es weitere geben muss."--Gunther 02:05, 21. Mai 2005 (CEST)

Bisher dachte ich, daß Euklid sehr wohl zeigte: Wenn es nicht endlich viele Primzahlen gibt, dann sind derer unendlich viele. Niemand braucht diese Primzahlen "konstruieren", und trotzdem sind sie da. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Gunther, bitte etwas mehr Klarheit -- "Daß es weitere geben muß" -- Na ja, welche denn ? Kleinere oder größere ? Danke. Wir reden über Primzahlen, nicht über Teppiche oder Fenster.

Siehe Satz von Euklid. Man kann nicht sagen, ob die Primteiler von $n$ (Bezeichnungen siehe dort) größer oder kleiner als $\max\{p_{0},p_{1},\ldots ,p_{r}\}$ sind, nur dass sie andere Primzahlen sein müssen.--Gunther 10:11, 21. Mai 2005 (CEST)

Wenn man das Produkt beliebiger Primzahlen nimmt, die man kennt, dann stimmt es, daß man nicht sagen man, ob es sich um größere oder kleinere, unbekannte Primzahlen handelt. Wenn man aber sicher sein kann, das es sich um ein primorial handelt, dann ist/sind die Primzahl(en) größer als die des Primorial. --Arbol01 10:31, 21. Mai 2005 (CEST)

Satz von Euklid gibt recht genau die von Euklid bewiesene Aussage wieder, siehe hier.--Gunther 10:56, 21. Mai 2005 (CEST)

Primzahlformeln und größte bekannte Primzahl

• Ich wollte den Unterschied deutlich machen, weshalb es eine größte bekannte Primzahl, aber keine größte bekannte Zweierpotenz gibt.
• Kann man beweisen, dass es keine Primzahlformel gibt?
• Die Formel $p(n)=n$ liefert etwa mit Wahrscheinlichkeit $1/{\log n}$ eine Primzahl.

--Gunther 10:53, 21. Mai 2005 (CEST)

Ich wollte das lieber auseinanderhalten.

Nein, man kann nicht beweisen, das es keine Primzahlformel gibt, oder zumindest ich kann es nicht. Gefunden hat bisher keiner eine. Ansonsten könnte man sich die Sache mit den Primzahlrekorden ersparen.

Die Formel $p(n)=n$ liefert etwa mit Wahrscheinlichkeit $1/{\log n}$ eine Primzahl. Das ist falsch. pi(n) = $n/{\log n}$ besagt lediglich, das es im Bereich zwischen 2 und n ungefähr pi(n) Primzahlen gibt. Diese Formel umzudrehen, um bei dem Wechsel x=pi(a) und x+1 = pi(b) zu sagen, das b eine Primzahl ist, ist sehr spekulativ. andererseits kann man es natürlich mal probieren. --Arbol01 11:09, 21. Mai 2005 (CEST)

Natürlich ist die Zahl $2k$ nicht mit Wahrscheinlichkeit $1/{\log 2k}$ eine Primzahl (genausowenig aber $2^{2k}-1$). Mein Punkt war, dass die Formulierung "eine gewisse Wahrscheinlichkeit" so schwammig ist, dass sie auch schon auf $p(n)=n$ zutrifft.--Gunther 11:14, 21. Mai 2005 (CEST)

Ich arbeite noch daran. Man kann auch noch 6n+1, 6n-1, 4n+1 und 4n-1 anführen. --Arbol01 11:25, 21. Mai 2005 (CEST)

Ich würde den präzisen Teil (Dirichletscher Primzahlsatz) in "Primzahlverteilung", den Teil mit Mersenne-Primzahlen in "Größte bekannte Primzahl" eingliedern. Ich nehme nicht an, dass man irgendwie beweisen (oder auch nur vernünftig formulieren) kann, dass Mersenne-Zahlen wahrscheinlicher prim sind als andere Zahlen. Haben die Primorials irgendeine theoretische oder praktische Anwendung?--Gunther 11:33, 21. Mai 2005 (CEST)

• Dann gliedere es ein (du hast eine gewisse Vorstellung oder Idee, die ich nicht habe).
• Ich weiß es nicht. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit, das bei p(n)=n p(n) eine Primzahl ist höher, als bei p(n)=2*n, und bei p(n)=6n+1 höher als bei p(n)=6n+3.
• Eine theoretische Anwending sicher, sogar zwei. Einmal bei dem Satz von Euklid und zweitens bei den Primzahllücken. Primorial und Primorial prime. Ansonsten schaue ich nochmal im Ribenboim nach. --Arbol01 11:45, 21. Mai 2005 (CEST)

Ein Problem besteht darin, dass es auf den natürlichen Zahlen kein kanonisches Wahrscheinlichkeitsmaß gibt, und mit der Dichte wie im dirichletschen Primzahlsatz kommt man bei Mengen, von denen man nicht weiß, dass sie unendlich sind, nicht weiter. Natürlich ist die relative Dichte der Primzahlen im Vergleich zu den ungeraden Zahlen doppelt so gross wie die im Vergleich zu allen Zahlen. Aber viel mehr dürfte da nicht zu holen sein.--Gunther 13:00, 21. Mai 2005 (CEST)

Was ich übersehen habe (ist mir eben beim Einkaufen aufgegangen), bei der Mersenne-Formel und dem Primorial geht es ja auch darum, möglichst große Zahlen zu erzeugen. Bei 6n+-1 ist die Dichte noch einen Hauch größer, als bei den ungeraden Zahlen. --Arbol01 13:08, 21. Mai 2005 (CEST)

Man kann die Dichte "beliebig groß" machen: Nach Primzahlsatz und Dirichlet ist asymptotisch

${\frac {\#\{p\leq x,p\equiv a{\pmod {m}}\}}{\#\{k\leq x,k\equiv a{\pmod {m}}\}}}\sim {\frac {1}{\log x}}\cdot {\frac {m}{\varphi (m)}}.$

Die Gesamtdichte ist natürlich trotzdem Null.--Gunther 13:24, 21. Mai 2005 (CEST)

Was haben die obigen/untigen Ausführungen denn mit meiner Aussage zu tun, daß es stets eine "größte bekannte" Primzahl gibt ? Ich sage: nicht das Geringste ! Also bitte, fügt meine kleine Feststellung wieder ein in die Wiki-Primzahl_Seite, bevor ich gezwungen bin, es (abermals) selbst zu tun. (Die Nebenrechnungen haben mit dieser Aussage rein gar nichts zu tun; sie dienen nur als wertloser Schmuck für den Verfasser.) Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Ich hab's mal so formuliert, wie ich es für richtig halte. Martin Vogel 03:16, 29. Mai 2005 (CEST)

Das "stets" habe ich herausgenommen. Solange nicht geklärt ist, ob es eine "Primzahlformel" gibt, kann man nicht wissen, ob es nicht morgen auf einmal keine größte bekannte Primzahl mehr gibt.--Gunther 15:04, 29. Mai 2005 (CEST)

Die obige Aussage ist ungültig, da jederzeit eine Primzahl bekannt ist, deren Größe alle kleineren vorher bekannten Primzahlen übersteigt. Beispiel: Die Zahl 5 war irgendwann die größte bekannte Primzahl, nämlich als nur die 2 und die 3 als Primzahlen identifiziert waren. Vorher war die größte bekannte Primzahl die 3, und davor die 2. Das "stets" ist also ganz unabhängig von einer irgendwie gearteten "Primzahlformel". Dies nur zur Klarstellung für diejenigen, die zwar das Wort "Primzahl" kennen, aber nicht so recht etwas mit dem _Begriff_ "Primzahl" anzufangen wissen. Kurzfassung: Die elementare Logik besagt, wenn es keine größte Primzahl gibt, dann muß es _stets_ und _immer_ eine größte "bekannte" Primzahl geben. (So wie es stets eine größere natürliche Zahl als jede vorgelegte gibt.) Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Worauf der Verfasser abzielt ist natürlich folgendes: Falls niemand eine _neue und größere_ Primzahl findet, dann gibt es keine "neue" größte bekannte Primzahl. Na ja, dann bleibt immer noch die "alte" Primzahl die größte bekannte...

PPS: Nochmals zur Klarstellung: Eine größte _bekannte_ (und auf dieses Wort _bekannte_ kommt es hier allein an) Primzahl gab es stets und immer, solange Menschen nach Primzahlen gesucht haben.

Nein. Findet z.B. jemand morgen heraus, dass jede Zahl der Form $3^{2^{n}}+2$ (oder wie auch immer) eine Primzahl ist, dann gibt es keine größte bekannte Primzahl mehr, weil es auf einmal leicht ist, beliebig große Primzahlen anzugeben. Das versuche ich mit der Bemerkung über die Zweierpotenzen auszudrücken.--Gunther 08:43, 4. Jun 2005 (CEST)

"weil es auf einmal leicht ist, beliebig große Primzahlen anzugeben." Das versuche ich gerade zu erklären: Wenn jemand morgen (oder in der nächsten Sekunde) herausfindet, daß eine Zahl "b" eine größere Primzahl als eine zuvor bekannte Primzahl "a" ist (also 5 > 3) -- dann ist es völlig hinreichend, diese Primzahl "bekannt zu geben", damit diese Primzahl als die größte "bekannte" Primzahl gelten kann. Falls jede Zahle der Form "$3^{2^{n}}+2$ (oder wie auch immer)" eine Primzahl wäre, so wäre allein diejenige Primzahl die "größte _bekannte_ Primzahl", welche wenigstens zwei Autoritäten (außer meiner oder deiner selbst) für gültige Primzahlen befunden hätten. Aber dies ändert nichts am Sachverhalt: Die größte Primzahl kann es nicht geben. Die größte _bekannte_ (Sekunden spielen hier natürlich gar keine Rolle) Primzahl muß es logischerweise geben. Daran führt kein Weg vorbei, solange die Primzahl 5 größer als die Primzahl 3 ist. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: "Bekannt" bedeutet für mich, daß ein anerkannter Beweis der Primalität vorliegt.

Eine "Primzahlformel" ist doch das Sieb des Eratosthenes, damit kann man doch lückenlos alle Primzahlen berechnen. Sehr aufwändig, aber berechenbar. — Martin Vogel 17:34, 29. Mai 2005 (CEST)

Natürlich ist auch der Euklids Beweis eine Konstruktionsvorschrift für unendlich viele Primzahlen. Aber willst Du behaupten, dass es eine größte bekannte Zweierpotenz oder eine größte bekannte natürliche Zahl gibt? Diesen Unterschied versuche ich zu erklären.--Gunther 17:38, 29. Mai 2005 (CEST)

Mit Eratosthenes findet man lückenlos alle Primzahlen, mit Euklid zwar unendlich viele, aber nicht alle, sondern es gibt Lücken. Wo ist jetzt der prinzipielle Unterschied zu den natürlichen Zahlen? Bei beiden findet man die nächstgrößere zu jeder gegebenen Zahl, indem man rechnet. Bei den Primzahlen zunehmend langwieriger und aufwändiger, bei den natürlichen Zahlen durch addieren einer Eins. Aber in beiden Fällen geht es einen Schritt weiter, beliebig oft wiederholbar. — Martin Vogel 22:12, 29. Mai 2005 (CEST)

Trotzdem wäre es lächerlich, von der größten bekannten natürlichen Zahl zu sprechen, auch wenn natürlich in der gesamten Geschichte der Menschheit nur endlich viele betrachtet wurden.--Gunther 22:18, 29. Mai 2005 (CEST)

Natürliche Zahlen muss man ja auch nicht ausrechnen. Man kann leicht die grösste natürliche Zahl in einem beliebig grossen Intervall angeben, für die grösste Primzahl ist das ohne Rückgriff auf eine beliebig grosse Rechenleistung nicht möglich. --213.54.194.248 07:36, 4. Jun 2005 (CEST)

Anderes Beispiel: was ist der größte bekannte Binomialkoeffizient? Was ist die größte bekannte Zahl n, die sich in der Form n=k! darstellen lässt? Was ist die größte bekannte Zweierpotenz? Sobald ein "einfaches" Rezpet da ist, zu einer größten Zahl mit einer bestimmten Eigenschaft eine noch größere Zahl mit der selben Eigenschaft zu finden, hat es keinen Sinn mehr, von der größten bekannten Zahl mit dieser Eigenschaft zu sprechen. --NeoUrfahraner 12:36, 4. Jun 2005 (CEST)

Das ist einfach zu beantworten: Ließ meinen letzten Beitrag etwas genauer. Dann wirst Du hoffentlich etwas klüger. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Nein, Dein Beitrag beantwortet nicht die Frage, was der größte bekannte Binomialkoeffizient sein soll. Man braucht keine 2 Autoritäten um festzustellen, welches der größte bekannte Binomialkoeffizient ist. Warum wohl setzt die EFF einen Preis für die erste Primzahl größer als XXX aus, nicht aber für den ersten Binomialkoeffizienten, der einen bestimmten Wert überschreitet? Warum interessiert sich niemand für den größten Binomialkoeffizienten? Der Trugschluss ist ganz einfach, dass man auf die zwei Autoritäten verzichten kann, sobald ein einfacher Algorithmus zum Berechnen beliebig großer Primzahlen vorliegt. Angenommen, die Gunther-Formel $3^{2^{n}}+2$ liefert wirklich Primzahlen, und zwei Autoritäten bestätigen diese Formel. Ich sage dann, $3^{2^{12345678}}+2$ ist die größte bekannte Primzahl; was hindert dann Gunther daran, zu sagen, nein $3^{2^{12345679}}+2$ ist eine größere Primzahl? --NeoUrfahraner 14:41, 4. Jun 2005 (CEST)

@MKI: so wirklich glücklich bin ich mit Deiner Formulierung auch nicht. Was heißt "bis heute"? Was war vor 10 Millionen Jahren die größte bekannte Primzahl? Die Verfechter von "stets" oder "immer" wollen ja eine Auskunft auch für den Fall machen, dass vielleicht irgendwann eine Formel zur effizienten Berechnung von Primzahlen gefunden wird; da kann man ds "bis heute stets" genausogut durch ein "lediglich" ersetzen". --NeoUrfahraner 14:41, 4. Jun 2005 (CEST)

Habs abgeändert. Mit deinem Binomialkoeffizienten-Beispiel bin ich auch nicht so wirklich glücklich, schließlich ist jede natürliche Zahl auch ein Binomialkoeffizient, so dass man die Diskussion darüber auf die ergebnislose Diskussion über die natürlichen Zahlen weiter oben zurückführen kann. Nimm stattdessen besser die mittleren Binomialkoeffizienten oder die Fakultäten oder ähnliches.--MKI 15:21, 4. Jun 2005 (CEST)

Bzgl. dem Binomialkoeffizienten-Beispiel stimme ich Dir zu; bzgl. der Formulierung hat 84.148.88.166 bereits zugeschlagen. --NeoUrfahraner 16:05, 4. Jun 2005 (CEST)

Was ich befürchtet habe, ist eingetreten; "bis heute" reicht den "stets"-Verfechtern nicht. Die jetzige Formulierung von 84.148.88.166 ist völlig Fehl am Platz und emprisch nicht belegt (bei welcher Untersuchung wurde denn festgestellt, was für die meisten Menschen einsichtig ist?) --NeoUrfahraner 15:01, 4. Jun 2005 (CEST)

Ich möchte mal zwei Punkte zur Klärung einbringen:

1. Es gibt Formeln, die theoretisch jede Primzahl liefern, wenn man unendlich viel Zeit hat, darin Variablen einzusetzen. Siehe etwa hier und hier. Im Grunde gilt das auch für die Verfahren Eratosthenes' und Euklids, da gebe ich Martin Vogel recht.
2. Die Frage ist nun, was man unter "größte bekannte Primzahl" versteht.
   1. Versteht man darunter "theoretisch (= mit hinreichend großem Zeitaufwand) berechenbare Primzahl, die größer ist als alle anderen theoretisch berechenbaren Primzahlen" so gibt es keine größte bekannte Primzahl.
   2. Versteht man darunter "Zahl, die man (1) explizit als Term aus anderen Zahlen aufschreiben kann, und von der man weiß, (2)daß sie eine Primzahl ist, (3) daß sie größer ist als alle anderen Zahlen mit (1) und (2)", dann hat es zumindest bisher immer eine größte bekannte Primzahl gegeben - wenn ich die Formeln richtig lese, geben sie nämlich keinerlei Möglichkeit außer brute force, zu einer Primzahl eine größere Primzahl zu finden. Ob das so bleibt, weiß ich nicht (wenn z.B. jemand eine Formel fände, die jede Primzahl liefert, und man zusätzlich sagen könnte, wann diese Formel beliebig große Terme liefert, wäre es nicht mehr so. Hier liegt Hans Rosenthal sicherlich falsch.)

Jedenfalls geht der Streit nur um die Frage, was man unter "bekannt" versteht. Ich neige zur zweiten Auffassung, würde aber verstehen, wenn (zumindest nicht-finitistische) Mathematiker die erste vorziehen. Das immer oder stets ist zu verneinen, es sei denn, es gibt einen Beweis, daß eine Formel wie die kursiv beschriebene nicht existiert.--Chef Diskussion 15:04, 4. Jun 2005 (CEST)

Ja, Du hast recht. Deswegen ist die Verwendung des Wortes "stets" problematisch, weil es mehr Fragen aufwirft (nämlich "Was heipt bekannt?") als es beantwortet. Mit dem Wort "stets" verlässt man das gesicherte mathematische Fundament und begibt sich auf wackeligen philosophischen Boden. --NeoUrfahraner 16:02, 4. Jun 2005 (CEST)

Nebenrechnung (2. Versuch)

In Wladyslaw Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory, Springer-Verlag Berlin 2000, Seite 114 findet sich die Aussage

$0{,}92\leq {\frac {\pi (x)}{x/{\log x}}}\leq 1{,}26$ für $x\geq 11.$

Als Quelle ist H. Harborth, H.J.Kanold, A.Kemnitz, Abschätzung der Primzahlfunktion mit elementaren Methoden, Elem. Math. 36 (1981) 167–170, angegeben.

Damit ist

$\pi (2^{N})-\pi (2^{M})$

${}>0{,}9\cdot {\frac {2^{N}}{N\log 2}}-1{,}3\cdot {\frac {2^{M}}{M\log 2}}.$

Mit $N=25.964.951$ und $M=24.036.583$ kann man den zweiten Term vernachlässigen und erhält

${}>{\frac {2^{N}}{10^{8}}}>10^{3N/10-8}>10^{7.500.000}.$

--Gunther 16:38, 21. Mai 2005 (CEST)