Zellers Kongruenz

Zellers Kongruenz ist der mathematische Weg, um den Wochentag eines gegebenen Datums zu ermitteln. Dieser Weg wurde von dem Geistlichen Christian Zeller 1882 in einer Formel zusammengefasst. Diese Vorgehensweise wird häufig in der Programmierung verwendet.

Die Formel, um einen Wochentag im Gregorianischen Kalender zu einem gegebenen Datum zu ermitteln lautet:

${\mathit {Wt}}=\left(T+\left\lfloor {\frac {(M+1)*26}{10}}\right\rfloor +J+\left\lfloor {\frac {J}{4}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {\mathit {Jh}}{4}}\right\rfloor -2*{\mathit {Jh}}\right){\bmod {\,}}7$

Die Formel, um einen Wochentag im Julianischen Kalender zu einem gegebenen Datum zu ermitteln lautet:

${\mathit {Wt}}=\left({T}+\left\lfloor {\frac {(M+1)*26}{10}}\right\rfloor +J+\left\lfloor {\frac {J}{4}}\right\rfloor +5-{\mathit {Jh}}\right){\bmod {\,}}7$

Jh	:=	Jahrhundert (die ersten beiden Stellen des Jahres)
J	:=	Jahreszahl innerhalb des Jahrhunderts
M	:=	Monat Die Monate Januar und Februar werden als 13. bzw. 14. Monat des Vorjahres betrachtet. Das Jahr J ist dann auch um Eins zu reduzieren.
T	:=	Tag
Wt	:=	Wochentag ( 1 := Sonntag, 2 := Montag, 3 := Dienstag, 4 := Mittwoch, 5 := Donnerstag, 6 := Freitag, 0 := Samstag ) Möchte man, wie heutzutage üblich, dass die Woche mit dem Montag beginnt, so muss man einfach Eins von der Formel subtrahieren.
$\lfloor x\rfloor$	:=	größte ganze Zahl $\leq x$, d.h. die Dezimalstellen werden einfach abgeschnitten

Ist das Ergebnis negativ, ist solange 7 zu addieren, bis eine positive Zahl entsteht. Diese Zahl entspricht dann dem Wochentag.

Beispiele

Nehmen wir an, der Tag wäre der 9. November 1989. Für den Monat November ist M = 11 in die Formel einzusetzen. Der Tag T = 9 und J = 89. Beim Wert für Jh werden nur die ersten beiden Ziffern des Jahres verwendet, also 19 für 1989.

Die Berechnung würde sich also folgendermaßen darstellen:

${\mathit {Wt}}=\left(9+\lfloor ((11+1)*26)/10\rfloor +89+\lfloor 89/4\rfloor +\lfloor 19/4\rfloor -2*19\right){\bmod {\,}}7$

${\mathit {Wt}}=\left(9+31+89+22+4-38\right){\bmod {\,}}7$

${\mathit {Wt}}=\left(117\right){\bmod {\,}}7=5$

Das mod 7 (ausgesprochen Modulo 7) am Ende bedeutet, dass der ermittelte Wert durch 7 geteilt und der Rest, der bei dieser ganzahligen Division durch 7 übrig bleibt, bestimmt wird.

Im gegebenen Beispiel ist dieser Restwert 5. Dieser Restwert repräsentiert dann den Wochentag. In unserem Beispiel also den Donnerstag. Der Tag des Mauerfalls war an einem Donnerstag.

An welchem Wochentag entdeckte Christoph Kolumbus am 12. Oktober 1492 die neue Welt?

${\mathit {Wt}}=\left(12+\lfloor ((10+1)*26)/10\rfloor +92+\lfloor 92/4\rfloor +5-14\right){\bmod {\,}}7$

${\mathit {Wt}}=\left(12+28+92+23+5-14\right){\bmod {\,}}7$

${\mathit {Wt}}=\left(146\right){\bmod {\,}}7=6$

Also an einem Freitag.

Der 1. Januar 2005

${\mathit {Wt}}=\left(1+\lfloor ((13+1)*26)/10\rfloor +4+\lfloor 4/4\rfloor +\lfloor 20/4\rfloor -2*20\right){\bmod {\,}}7$

${\mathit {Wt}}=\left(1+36+4+1+5-40\right){\bmod {\,}}7$

${\mathit {Wt}}=\left(7\right){\bmod {\,}}7=0$

war ein Samstag.

Der 2. Juni 2005 (als Beispiel für ein negatives Ergebnis)

${\mathit {Wt}}=\left(2+\lfloor ((6+1)*26)/10\rfloor +5+\lfloor 5/5\rfloor +\lfloor 20/4\rfloor -2*20\right){\bmod {\,}}7$

${\mathit {Wt}}=\left(2+18+5+1+5-40\right){\bmod {\,}}7$

${\mathit {Wt}}=\left(-9\right){\bmod {\,}}7$

Das Ergebnis der ersten Klammer ist -9. Um auf eine gültige (positive) Zahl zu kommen, muss zwei Mal 7 addiert werden. Dadurch erhält man den Wert 5:

${\mathit {Wt}}=\left(5\right){\bmod {\,}}7=5$

war ein Donnerstag.

Literatur

• "Die Grundaufgaben der Kalenderrechnung auf neue und vereinfachte Weise gelöst", Zeller, Chr., Württembergische Vierteljahrshefte für Landesgeschichte, Jahrgang V 1882, S. 313-314
• "Problema duplex Calendarii fundamentale" par M. Ch. Zeller, Bulletin de la Société Mathématique de France, vol.11, Séance du 16 mars 1883 S. 59-61
• "Kalender-Formeln" von Rektor Chr. Zeller, Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen des mathematisch-naturwissenschaftlichen Vereins in Württemberg, ser. 1, 1 1885, S. 54-58
• "Kalender-Formeln" von Chr. Zeller, Acta Mathematica, vol.9 1886-87, Nov 1886, S. 131-136

Weblinks

• The Calendrical Works of Rektor Chr. Zeller: The Day-of-Week and Easter Formulae.