Galoisgruppe

Die Galoisgruppe ist eine wichtige algebraische Struktur in der Galoistheorie.

Definition

Zu jeder Körpererweiterung $L/K$ kann die Galoisgruppe $Gal(L/K)$ berechnet werden. Sie besteht aus allen Automorphismen über $L$, die $K$ elementweise festlassen. Es gilt also:

$Gal(L/Q)=\lbrace \varphi \in Aut(L):\varphi \mid _{K}=id_{K}\rbrace$

Eigenschaften

• Die Galoisgruppe ist eine Untergruppe der Automorphismengruppe von L.

• Ist die Körpererweiterung $L/K$ endlich, so ist die Kardinalität von $Gal(L/K)$ kleiner gleich dem Grad $[L:K]$. In diesem Fall existiert das Minimalpolynom $f=m_{K,\alpha }$ von $L=K(\alpha )$.

• • Für die Wurzelmenge (Menge der Nullstellen) von $f$ gilt $\vert W_{f}\cap L\vert =\vert Gal(L/K)\vert$. Also gilt $\vert Gal(L/K)\vert =[L:K]$ genau dann, wenn $f$ separabel in $L$ ist.

• • Jeder dieser Automorphismen bildet ein Element der Wurzelmenge wieder in die Wurzelmenge ab. Die Galoisgruppe eingeschränkt auf die Wurzelmenge ist also isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe $S_{\vert Gal(L/K)\vert }$

Beispiele

• Die Komplexen Zahlen sind ein Körper und enthalten den Körper der Reellen Zahlen. Also ist $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ eine Körpererweiterung. Da $\mathbb {C}$ ein Vektorraum der Dimension 2 über $\mathbb {R}$ ist ($(1,i)$ ist eine Basis), gilt $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$. Die Galoisgruppe enthält die Identität und die komplexe Konjugation. Die Wurzelmenge des Minimalpolynoms $f=X^{2}+1$ ist $\lbrace i,-i\rbrace$. Die Identität bildet diese beiden Elemente wieder auf sich selbst ab, während sie von der komplexen Konjugation permutiert werden. Also ist die Galoisgruppe eingeschränkt auf die Wurzelmenge isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_{2}$