Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte (so genannte Realisationen) zuordnet.

Zum Beispiel kann das Zufallsexperiment des Münzwurfs als Zufallsvariable $X$ modelliert werden. $X$ bildet die Menge der Wurfergebnisse $\{{\text{Kopf}},{\text{Zahl}}\}$ auf die Menge der Realisationen $\{0,1\}$ ab:

$X(\omega )={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}\omega ={\text{Kopf}},\\1,&{\text{wenn }}\omega ={\text{Zahl}}.\end{cases}}$

Die Bedeutung der Zufallsvariable liegt darin, dass durch sie die Verbindung zwischen dem Resultat eines Zufallsexperiments und seiner mathematischen Darstellung (Realisation) hergestellt wird. Auch lassen sich Funktionen von Realisationen des Experiments durch Zufallsvariable beschreiben.

Betrachtet man das zweimalige Werfen einer Münze und bezeichnet das Ergebnis mit $\omega =\left(\omega _{1},\omega _{2}\right)$, so lassen sich beispielsweise folgende Zufallsvariable untersuchen:

1. $X_{1}(\omega ):=X(\omega _{1})\in \{0,1\}$ als Ergebnis des ersten Wurfes,
2. $X_{2}(\omega ):=X(\omega _{2})\in \{0,1\}$ als Ergebnis des zweiten Wurfes,
3. $S(\omega ):=X(\omega _{1})+X(\omega _{2})\in \{0,1,2\}$ als Summe der zwei Ergebnisse.

Zufallsvariable selbst werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier $X_{1},X_{2},S$), während man für die Realisationen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (so beispielsweise für $\omega =\left({\text{Zahl}},{\text{Kopf}}\right)$ die Realisationen $x_{1}=1$, $x_{2}=0$, $s=1$).

Während früher der Begriff Zufallsgröße (manchmal auch Zufallsveränderliche) der übliche deutsche Begriff war, hat sich heute (ausgehend vom englischen random variable) der etwas irreführende Begriff Zufallsvariable durchgesetzt. Zufallsvariable sind jedoch Funktionen und dürfen nicht mit den Variablen verwechselt werden, die üblicherweise in der Mathematik eingesetzt werden.

Definition

Als Zufallsvariable bezeichnet man eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum.

Eine formale mathematische Definition lässt sich wie folgt geben:

Es seien $(\Omega ,\Sigma ,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(\Omega ',\Sigma ')$ ein Messraum. Eine $(\Sigma ,\Sigma ')$-messbare Funktion $X:\Omega \to \Omega '$ heißt dann eine $\Omega '$-Zufallsvariable auf $\Omega$.

Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ modellieren:

• $\Omega$ ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse $\Omega =\{(1,1),(1,2),\dots ,(6,5),(6,6)\}$
• $\Sigma$ ist die Potenzmenge von $\Omega$
• Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also das Maß $P$ als $P\left((n_{1},n_{2})\right)={\frac {1}{36}}$ für $n_{1},n_{2}\in \{1,2,3,4,5,6\}$.

Die Zufallsvariablen $X_{1}$, $X_{2}$ und $S$ werden als folgende Funktionen definiert:

1. $X_{1}:\Omega \to \mathbb {R} ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1},$
2. $X_{2}:\Omega \to \mathbb {R} ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{2},$ und
3. $S:\Omega \to \mathbb {R} ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1}+n_{2},$

wobei für $\Sigma '$ die borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen gewählt wird.

In der Regel wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf $\Omega$ und welcher Messraum auf $\Omega '$ gemeint ist.

Bei einer endlichen Ergebnismenge $\Omega$ wird $\Sigma$ meistens als die Potenzmenge von $\Omega$ gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge $\Omega$ überabzählbar viele Elemente enthält.

Einige Klassen von Zufallsvariablen mit bestimmten Wahrscheinlichkeits- und Messräumen werden besonders häufig verwendet. Diese werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die keine Kenntnisse der Maßtheorie voraussetzen:

Reelle Zufallsvariable

Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen versehen mit der borelschen $\sigma$-Algebra. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen:

Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$, die jedem Ergebnis $\omega$ einer Ergebnismenge $\Omega$ eine reelle Zahl $X(\omega )$ zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt:

$\forall x\in \mathbb {R} :\ \lbrace \omega \mid X(\omega )\leq x\rbrace \in \Sigma$

Das bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisation unterhalb eines bestimmen Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind $X_{1}$, $X_{2}$ und $S$ jeweils reelle Zufallsvariable.

Mehrdimensionale Zufallsvariable

Die mehrdimensionale Zufallsvariable mit der Abbildung $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ für eine Dimension $n\in {\mathbb {N}}$ wird als Zufallsvektor aufgefasst. Damit ist $X=(X_{1},\dots ,X_{n})$ gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen $X_{i}:\Omega \to \mathbb {R}$, die alle denselben Ergebnisraum $\Omega$ besitzen. Ihre Verteilung wird als multivariat bezeichnet. Sie besitzt einen Erwartungswertvektor und eine Kovarianzmatrix.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns ist $X=(X_{1},X_{2})$ eine zweidimensionale Zufallsvariable.

Komplexe Zufallsvariable

Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge ${\mathbb {C}}$ der komplexen Zahlen versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen ${\mathbb {C}}$ und $\mathbb {R} ^{2}$ „geerbten“ borelschen σ-Algebra. $X$ ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil $\operatorname {Re} (X)$ und Imaginärteil $\operatorname {Im} (X)$ jeweils reelle Zufallsvariable sind.

Die Verteilung von Zufallsvariablen

Eng verknüpft mit dem eher technischen Begriff einer Zufallsvariablen ist der Begriff der auf dem Bildraum von $X\;$ induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Mitunter werden beide Begriffe auch synonym verwendet. Formal wird die Verteilung $\;P^{X}$ einer Zufallsvariablen $X\;$ als das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P\;$ definiert, also

$\;P^{X}(A)=P\left(X^{-1}(A)\right)$ für alle $A\in \Sigma '$.

Statt $\;P^{X}$ werden in der Literatur für die Verteilung von $X\;$ auch die Schreibweisen $P_{X},X(P)\;$ oder $P\circ X^{-1}$ verwendet.

Spricht man also beispielsweise von einer normalverteilten Zufallsvariablen, so ist damit eine Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen gemeint, deren Verteilung einer Normalverteilung entspricht.

Häufig wird von einer Zufallsvariablen lediglich die Verteilungsfunktion angegeben und der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum weggelassen. Für die mathematische Untersuchung ist der modellierte Vorgang der realen Welt uninteressant; es wird lediglich die von dieser Zufallsvariablen induzierten Verteilung mathematisch untersucht. Dies ist vom Standpunkt der Mathematik erlaubt, sofern es tatsächlich einen Wahrscheinlichkeitsraum gibt, der eine Zufallsvariable mit der gegebenen Verteilung erzeugen kann. Ein solcher Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ lässt sich aber leicht angeben, indem beispielsweise $\Omega =\mathbb {R}$, $\Sigma$ als die Borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen und $P$ als das durch die Verteilungsfunktion induzierte Lebesgue-Stieltjes-Maß gewählt wird.

Mathematische Attribute für Zufallsvariable

Verschiedene mathematische Attribute, die in der Regel denen für allgemeine Funktionen entlehnt sind, finden bei Zufallsvariablen Anwendung. Die häufigsten werden in der folgenden Zusammenstellung kurz erklärt:

diskret

Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. Im obigen Beispiel des zweimaligen Würfelns sind alle drei Zufallsvariable $X_{1}$, $X_{2}$ und $S$ diskret.

konstant

Eine Zufallsvariable wird als konstant bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt: $X(\omega )=c$ für alle $\omega$. Sie ist ein Spezialfall der diskreten Zufallsvariable.

unabhängig

Zwei Zufallsvariable heißen unabhängig, wenn die von ihnen erzeugten Ereignisräume stochastisch unabhängig sind. In obigem Beispiel sind $X_{1}$ und $X_{2}$ unabhängig voneinander; die Zufallsvariablen $X_{1}$ und $S$ hingegen nicht.

Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen $X_{1},X_{2}\dots X_{n}$ bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $P_{X}$ des Zufallsvektors $X=\left(X_{1},X_{2},\dots X_{n}\right)$ dem Produktmaß der Wahrscheinlichkeitsmaße der Komponenten, also dem Produktmaß von $P_{X_{1}},P_{X_{2}}\dots P_{X_{n}}$ entspricht. So lässt sich beispielsweise dreimaliges unabhängiges Würfeln durch den Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ mit

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}^{3}$,

$\Sigma$ der Potenzmenge von $\Omega$ und

$P\left(\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)\right)={\frac {1}{6^{3}}}={\frac {1}{216}}$

modellieren; die Zufallsvariable "Ergebnis des $k$-ten Wurfes" ist dann

$X_{k}\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)=n_{k}$ für $k\in \{1,2,3\}$.

Die Konstruktion eines entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraums für eine unendliche Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit gegebenen Verteilungen ist ebenfalls möglich.

identisch verteilt

Zwei oder mehr Zufallsvariable heißen identisch verteilt (bzw. i.d. für identically distributed), wenn ihre Verteilungen gleich sind. In Beispiel des zweimaligen Würfelns sind $X_{1}$, $X_{2}$ identisch verteilt; die Zufallsvariablen $X_{1}$ und $S$ hingegen nicht.

unabhängig und identisch verteilt

Häufig werden Folgen von Zufallsvariablen untersucht, die sowohl unabhängig als auch identisch verteilt sind; dieser Fall wird üblicherweise mit i.i.d. (für independent and identically distributed) bezeichnet.

In obigem Beispiel des dreimaligen Würfelns sind $X_{1}$, $X_{2}$ und $X_{3}$ i.i.d. verteilt. $S_{1,2}=X_{1}+X_{2}$ (die Summe der ersten beiden Würfe) und $S_{2,3}=X_{2}+X_{3}$ (die Summe des zweiten und dritten Wurfs) sind zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig. $S_{1,2}$ und $X_{3}$ sind unabhängig, aber nicht identisch verteilt.

Mathematische Attribute für reelle Zufallsvariable

Kenngrößen

Zur Charakterisierung von Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, die wesentliche mathematische Eigenschaften der jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen ist die Verteilungsfunktion, die Auskunft darüber gibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert bis zu einer vorgegebenen Schranke annimmt, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Vier zu würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen wird diese durch die Wahrscheinlichkeitsdichte ergänzt, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass die Werte einer Zufallsvariablen innerhalb eines bestimmten Intervalls liegen. Des Weiteren sind Kennzahlen wie der Erwartungswert, die Varianz oder höhere mathematische Momente von Interesse.

stetig oder kontinuierlich

Das Attribut stetig wird für unterschiedliche Eigenschaften verwendet.

• Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig (oder auch absolut stetig) bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist).
• Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige Verteilungsfunktion besitzt. Insbesondere bedeutet das, dass $P(\{X=x\})=0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt.

Messbarkeit, Verteilungsfunktion und Erwartungswert

Wenn eine reelle Zufallsvariable $X$ auf dem Ergebnisraum $\Omega$ und eine messbare Funktion $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ gegeben ist, dann ist auch $Y=g(X)$ eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,P)$ nach $(\mathbb {R} ,P^{X})$ gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von $Y$ zu erhalten.

Die Verteilungsfunktion von $Y$ lautet

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)$.

Für den Erwartungswert der Zufallsgröße $Y$ erhält man im diskreten Fall

$\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} [g(X)]=\sum _{i=1}^{\infty }g(x_{i})P(X=x_{i})$

und im absolut stetigen Fall

$\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} [g(X)]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\operatorname {d} x$,

wobei $f_{X}(x)$ die Dichte von $X$ bezeichnet.

integrierbar

Eine Zufallsvariable heißt integrierbar, wenn der Erwartungswert der Zufallvariable existiert und endlich ist. Die Zufallsvariable heißt quasi-integrierbar, wenn der Erwartungswert existiert, aber unendlich ist.

Beispiel

Es sei $X$ eine reelle stetig verteilte Zufallsvariable und $Y=X^{2}$.

Dann ist

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).$

Fallunterscheidung nach $y$:

$y<0:$

${\begin{alignedat}{2}&&\operatorname {P} (X^{2}\leq y)&=0\\&\Rightarrow &F_{Y}(y)&=0\end{alignedat}}$

$y\geq 0:$

${\begin{alignedat}{2}&&\operatorname {P} (X^{2}\leq y)&=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})\\&&&=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}})\\&\Rightarrow &F_{Y}(y)&=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\end{alignedat}}$

standardisiert

Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihr Erwartungswert 0 und ihre Varianz 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable $Y$ in eine standardisierte Zufallsvariable

$X={\frac {Y-\operatorname {E} (Y)}{\sqrt {\operatorname {Var} (Y)}}}$

bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable $Y$.

Sonstiges

• Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariable können auch als stochastischer Prozess aufgefasst werden
• Eine Folge von Realisationen einer Zufallsvariable nennt man auch Zufallssequenz

Literatur

• Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1980, ISBN 3540073094
• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3525031149

Weblinks

Wikibooks: Zufallsvariablen – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Funktionen von Zufallsvariablen – Lern- und Lehrmaterialien

• Statistik III – Skript zur Vorlesung von Leonhard Held, Ludwig-Maximilians-Universität München, 2006 (PDF-Datei; 741 kB)