Definition
Die beiden Funktionen
L
(
λ
,
α
,
s
)
=
∑
n
=
0
∞
exp
(
2
π
i
λ
n
)
(
n
+
α
)
s
{\displaystyle L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi \mathrm {i} \lambda n)}{(n+\alpha )^{s}}}}
und
Φ
(
z
,
s
,
α
)
=
∑
n
=
0
∞
z
n
(
n
+
α
)
s
{\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}
werden als Lerchsche Zeta-Funktion oder "Transzendente Lerch-Funktion" bezeichnet. Die Verwandtschaft der beiden ist durch
Φ
(
exp
(
2
π
i
λ
)
,
s
,
α
)
=
L
(
λ
,
α
,
s
)
{\displaystyle \,\Phi (\exp(2\pi \mathrm {i} \lambda ),s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s)}
gegeben.
ζ
(
s
,
n
)
=
L
(
0
,
n
,
s
)
=
Φ
(
1
,
s
,
n
)
{\displaystyle \,\zeta (s,n)=L(0,n,s)=\Phi (1,s,n)}
Li
s
(
z
)
=
z
⋅
Φ
(
z
,
s
,
1
)
{\displaystyle \,{\textrm {Li}}_{s}(z)=z\cdot \Phi (z,s,1)}
χ
n
(
s
)
=
2
−
n
⋅
z
⋅
Φ
(
s
2
,
n
,
1
2
)
{\displaystyle \,\chi _{n}(s)=2^{-n}\cdot z\cdot \Phi (s^{2},n,{\tfrac {1}{2}})}
ζ
(
s
)
=
Φ
(
1
,
s
,
1
)
{\displaystyle \,\zeta (s)=\Phi (1,s,1)}
η
(
s
)
=
Φ
(
−
1
,
s
,
1
)
{\displaystyle \,\eta (s)=\Phi (-1,s,1)}
β
(
s
)
=
2
−
s
⋅
Φ
(
−
1
,
s
,
1
2
)
{\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\cdot \Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right)}
Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):[ 1]
Φ
(
z
,
s
,
1
)
=
L
i
s
(
z
)
z
{\displaystyle \Phi (z,s,1)={\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z}}}
Φ
(
z
,
0
,
a
)
=
1
1
−
z
{\displaystyle \Phi (z,0,a)={\frac {1}{1-z}}}
Φ
(
0
,
s
,
a
)
=
(
a
2
)
−
s
2
{\displaystyle \Phi (0,s,a)=\left(a^{2}\right)^{-{\frac {s}{2}}}}
Φ
(
0
,
s
,
a
)
=
a
−
s
{\displaystyle \Phi (0,s,a)=a^{-s}\,}
Φ
(
z
,
1
,
1
)
=
−
log
(
1
−
z
)
z
{\displaystyle \Phi (z,1,1)=-{\frac {\log(1-z)}{z}}}
Φ
(
1
,
s
,
1
2
)
=
(
2
s
−
1
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \Phi (1,s,{\tfrac {1}{2}})=(2^{s}-1)\zeta (s)}
Φ
(
−
1
,
s
,
1
)
=
(
1
−
2
1
−
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \Phi (-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta (s)\,}
Φ
(
0
,
1
,
a
)
=
1
a
2
{\displaystyle \Phi (0,1,a)={\frac {1}{\sqrt {a^{2}}}}}
Ferner ist
Φ
(
−
1
,
2
,
1
2
)
=
4
G
∂
Φ
∂
s
(
−
1
,
−
1
,
1
)
=
ln
(
A
3
2
3
⋅
e
4
)
∂
Φ
∂
s
(
−
1
,
−
2
,
1
)
=
7
ζ
(
3
)
4
π
2
∂
Φ
∂
s
(
−
1
,
−
1
,
1
2
)
=
G
π
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (-1,2,{\tfrac {1}{2}})&=&\;4G\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,1)&=&\;\ln \left({\frac {A^{3}}{{\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\sqrt[{4}]{e}}}}\right)\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-2,1)&=&\;{\frac {7\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,{\tfrac {1}{2}})&=&\;{\frac {G}{\pi }}\end{aligned}}}
mit der catalanschen Konstanten
G
{\displaystyle G}
, der Glaisher-Kinkelin-Konstanten
A
{\displaystyle A}
und der Apery-Konstanten
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
der Riemannschen Zeta-Funktion.
Integraldarstellungen
Eine mögliche Integraldarstellung lautet
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
t
s
−
1
e
−
a
t
1
−
z
e
−
t
d
t
f
u
¨
r
{
R
e
(
a
)
>
0
und
R
e
(
s
)
>
0
und
z
<
1
oder
R
e
(
a
)
>
0
und
R
e
(
s
)
>
1
und
z
=
1
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,\mathrm {d} t\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;{\begin{cases}&\mathrm {Re} (a)>0{\text{ und }}\mathrm {Re} (s)>0{\text{ und }}z<1\\{\text{oder }}&\mathrm {Re} (a)>0{\text{ und }}\mathrm {Re} (s)>1{\text{ und }}z=1\end{cases}}}
Das Kurvenintegral
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
−
Γ
(
1
−
s
)
2
π
i
∫
0
(
+
∞
)
(
−
t
)
s
−
1
e
−
a
t
1
−
z
e
−
t
d
t
R
e
(
a
)
>
0
,
R
e
(
s
)
<
0
,
z
<
1
{\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi \mathrm {i} }}\int \limits _{0}^{(+\infty )}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,\mathrm {d} t\qquad \qquad \mathrm {Re} (a)>0,\;\mathrm {Re} (s)<0,\;z<1}
darf die Punkte
t
=
log
(
z
)
+
2
k
π
i
,
k
∈
Z
{\displaystyle t=\log(z)+2k\pi \mathrm {i} ,\;k\in \mathbb {Z} }
Ferner ist
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
2
a
s
+
∫
0
∞
z
t
(
a
+
t
)
s
d
t
+
2
a
s
−
1
∫
0
∞
sin
(
s
arctan
(
t
)
−
t
a
log
(
z
)
)
(
1
+
t
2
)
s
/
2
⋅
(
e
2
π
a
t
−
1
)
d
t
f
u
¨
r
R
e
(
a
)
>
0
und
|
z
|
<
1
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (e^{2\pi at}-1)}}\,\mathrm {d} t\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;\mathrm {Re} (a)>0{\text{ und }}|z|<1}
und
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
2
a
s
+
log
s
−
1
(
1
z
)
z
a
Γ
(
1
−
s
,
a
log
(
1
z
)
)
+
2
a
s
−
1
∫
0
∞
sin
(
s
arctan
(
t
)
−
t
a
log
(
z
)
)
(
1
+
t
2
)
s
/
2
⋅
(
e
2
π
a
t
−
1
)
d
t
f
u
¨
r
R
e
(
a
)
>
0.
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}({\tfrac {1}{z}})}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log({\tfrac {1}{z}}))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (e^{2\pi at}-1)}}\,\mathrm {d} t\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;\mathrm {Re} (a)>0.}
Reihendarstellungen
Eine Reihendarstellung für die transzendente Lerch ist
Φ
(
z
,
s
,
q
)
=
1
1
−
z
∑
n
=
0
∞
(
−
z
1
−
z
)
n
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
q
+
k
)
−
s
.
{\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{-s}.}
Sie gilt für alle
s
{\displaystyle s}
komplexe
z
{\displaystyle z}
R
e
(
z
)
<
1
2
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)<{\tfrac {1}{2}}}
Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion .
Falls
s
{\displaystyle s}
Φ
(
z
,
n
,
a
)
=
z
−
a
{
∑
k
=
0
k
≠
n
−
1
∞
ζ
(
n
−
k
,
a
)
log
k
(
z
)
k
!
+
[
Ψ
(
n
)
−
Ψ
(
a
)
−
log
(
−
log
z
)
]
log
n
−
1
(
z
)
(
n
−
1
)
!
}
.
{\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\Psi (n)-\Psi (a)-\log(-\log z)\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\}.}
Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch
Φ
(
z
,
s
,
a
+
x
)
=
∑
k
=
0
∞
Φ
(
z
,
s
+
k
,
a
)
(
s
)
k
(
−
x
)
k
k
!
|
x
|
<
R
e
(
a
)
{\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}}\qquad \qquad |x|<\mathrm {R} e(a)}
gegeben.
Ist
a
=
−
n
{\displaystyle a=-n}
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
∑
k
=
0
n
z
k
(
a
+
k
)
s
+
z
n
∑
m
=
0
∞
(
1
−
m
−
s
)
m
L
i
s
+
m
(
z
)
(
a
+
n
)
m
m
!
a
→
−
n
{\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}}\qquad \qquad a\rightarrow -n}
Der Spezialfall
n
=
0
{\displaystyle n=0}
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
a
s
+
∑
m
=
0
∞
(
1
−
m
−
s
)
m
L
i
s
+
m
(
z
)
a
m
m
!
|
a
|
<
1.
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}}\qquad \qquad |a|<1.}
Die Asymptotische Entwicklung für
s
→
−
∞
{\displaystyle s\rightarrow -\infty }
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
z
−
a
Γ
(
1
−
s
)
∑
k
=
−
∞
∞
[
2
k
π
i
−
log
z
]
s
−
1
e
2
k
π
a
i
|
a
|
<
1
,
R
e
(
s
)
<
0
,
z
∉
(
−
∞
,
0
)
{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[2k\pi \mathrm {i} -\log z\right]^{s-1}e^{2k\pi a\mathrm {i} }\qquad \qquad |a|<1,\;\mathrm {Re} (s)<0,\;z\notin (-\infty ,0)}
und
Φ
(
−
z
,
s
,
a
)
=
z
−
a
Γ
(
1
−
s
)
∑
k
=
−
∞
∞
[
(
2
k
+
1
)
π
i
−
log
(
z
)
]
s
−
1
e
(
2
k
+
1
)
π
a
i
|
a
|
<
1
,
R
e
(
s
)
<
0
,
z
∉
(
0
,
∞
)
.
{\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[(2k+1)\pi \mathrm {i} -\log(z)\right]^{s-1}e^{(2k+1)\pi a\mathrm {i} }\qquad \qquad |a|<1,\;\mathrm {Re} (s)<0,\;z\notin (0,\infty ).}
Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
2
a
s
+
1
z
a
∑
k
=
1
∞
e
−
2
π
i
(
k
−
1
)
a
Γ
(
1
−
s
,
a
(
−
2
π
i
(
k
−
1
)
−
log
z
)
)
(
−
2
π
i
(
k
−
1
)
−
log
z
)
1
−
s
+
e
2
π
i
k
a
Γ
(
1
−
s
,
a
(
2
π
i
k
−
log
z
)
)
(
2
π
i
k
−
log
z
)
1
−
s
|
a
|
<
1
,
R
e
(
s
)
<
0.
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi \mathrm {i} (k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi \mathrm {i} (k-1)-\log z))}{(-2\pi \mathrm {i} (k-1)-\log z)^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi \mathrm {i} ka}\Gamma (1-s,a(2\pi \mathrm {i} k-\log z))}{(2\pi \mathrm {i} k-\log z)^{1-s}}}\qquad \qquad |a|<1,\;\mathrm {Re} (s)<0.}
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
z
n
Φ
(
z
,
s
,
a
+
n
)
+
∑
k
=
0
n
−
1
z
k
(
k
+
a
)
s
{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}
Φ
(
z
,
s
−
1
,
a
)
=
(
a
+
z
∂
∂
z
)
Φ
(
z
,
s
,
a
)
{\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}
Φ
(
z
,
s
+
1
,
a
)
=
−
1
s
∂
∂
a
Φ
(
z
,
s
,
a
)
{\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a)}
∫
0
1
∫
0
1
x
u
−
1
⋅
y
v
−
1
1
−
x
y
z
(
−
ln
(
x
y
)
)
s
d
x
d
y
=
Γ
(
s
+
1
)
Φ
(
z
,
s
+
1
,
v
)
−
Φ
(
z
,
s
+
1
,
u
)
u
−
v
f
u
¨
r
{
z
∈
C
╲
[
1
,
∞
)
und
R
e
(
s
)
>
−
2
z
=
1
und Re
(
s
)
>
−
1
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-xyz}}(-\ln(xy))^{s}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\Gamma (s+1){\frac {\Phi (z,s+1,v)-\Phi (z,s+1,u)}{u-v}}\qquad \;\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \,{\begin{cases}z\in \mathbb {C} \,\diagdown [1,\infty ){\text{ und }}\mathrm {Re} (s)>-2\\z=1{\text{ und Re}}(s)>-1\end{cases}}}
[ 2]
∫
0
1
∫
0
1
(
x
y
)
u
−
1
1
−
x
y
z
(
−
ln
(
x
y
)
)
s
d
x
d
y
=
Γ
(
s
)
Φ
(
z
,
s
+
2
,
u
)
ebendann
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {(xy)^{u-1}}{1-xyz}}(-\ln(xy))^{s}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\Gamma (s)\Phi (z,s+2,u)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;{\text{ebendann}}}
Literatur
Mathias Lerch : Démonstration élémentaire de la formule:
π
2
sin
2
π
x
=
∑
ν
=
−
∞
∞
1
(
x
+
ν
)
2
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}{\pi x}}}=\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+\nu )^{2}}}}
5 (1903): S. 450–453M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series
2
ψ
2
{\displaystyle \scriptstyle _{2}\psi _{2}}
25 (3), 1950: S. 189–196
Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent . In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247-270; vgl. in arxiv
Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 9781402010149 online
Weblinks
Einzelnachweise 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (-1,2,{\tfrac {1}{2}})&=&\;4G\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,1)&=&\;\ln \left({\frac {A^{3}}{{\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\sqrt[{4}]{e}}}}\right)\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-2,1)&=&\;{\frac {7\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,{\tfrac {1}{2}})&=&\;{\frac {G}{\pi }}\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/67188461d17b6c94ba0264a81e3940df722d904f)
![{\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\Psi (n)-\Psi (a)-\log(-\log z)\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\}.}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a79c5341d3d434c1ae49138bbf8290c5d6211b)
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[2k\pi \mathrm {i} -\log z\right]^{s-1}e^{2k\pi a\mathrm {i} }\qquad \qquad |a|<1,\;\mathrm {Re} (s)<0,\;z\notin (-\infty ,0)}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a0975059fdccec414deddd58dc15e222fc858f)
![{\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[(2k+1)\pi \mathrm {i} -\log(z)\right]^{s-1}e^{(2k+1)\pi a\mathrm {i} }\qquad \qquad |a|<1,\;\mathrm {Re} (s)<0,\;z\notin (0,\infty ).}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/598c6257fbe6c0b9c2aaef8e46454b04971212de)
