Theoretische Elektrotechnik

Die Theorie der Felder und Wellen, von vielen auch Theoretische Elektrotechnik genannt, beschäftigt sich mit der ingenieursmäßigen Betrachtung von elektromagnetischen Feldern und Wellen.

Anwendungen

In vielen Bereichen der Elektrotechnik ist ein Verständniss beziehungsweie ein tieferer Einblick in die Theorie der Felder und Wellen erforderlich. In der Energietechnik sind es die Gebiete Hochspannungstechnik, Elektrische Maschinen und Energieversorgung die sich insbesondere mit Feldern auseinandersetzen müssen. Die Nachrichtentechniker brauchen insbesondere auf dem Gebiet der Hochfrequenztechnik Kenntnisse über die physikalischen Vorgänge von Wellen. Auch die Mikroelektronik braucht sie auf dem Gebiet integrierte Schaltungen. Ebenso wichtig ist sie für elektrische RLC-Netzwerke.

Die Elektrostatik

Geschichte

Die Kraftwirkung zwischen lokalisierten Körpern war schon im antiken Griechenland bekannt. Die Eigenschaft der Materie wurde mit dem Begriff "elektrische Ladung" in Verbindung gebracht.

Bei Experimenten mit zum Beispiel dem Elektroskop oder Elektrometer konnte festgestellt werden, dass es zwei verschiedene Arten elektrischer Ladung gibt. Die eine Art nennt man positive und die andere negative Ladung. Des weiteren wurde festgestellt, dass geladene Körper Kräfte aufeinander ausüben. Dabei stoßen sich gleichnamige Ladungen ab, während sich ungleichnamige Ladungen anziehen.

Viele Experimete zeigten, dass elektrische Kraftwirkungen räumlich nicht lokalisiert sind. M. Faraday gelang es erstmals physikalische Felder zur zur Beschreibung elektromagnetischer Vorgänge heranzuziehen. J. C. Maxwell gelang die mathematische Charakterisierung mit mathematisch skalaren und vektoriellen Feldern. Zunächst wurden diese physikalischen Felder mit kleinen Probekörpern ausgemessen. Die physikalischen Systeme wurden dabei "feldmäßig" gedeutet durch Energie-Impuls-Transporte vergleichbar mit Feder-Masse-Systemen im Gravitationsfeld.

$\mathrm {d} E=\underbrace {{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}} _{\mathrm {Energie\ des\ Probekoerpers} }+\underbrace {(-F)\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}} _{\mathrm {Energie\ des\ physikalischen\ Feldes} }$

C. A. de Coulomb stellte mit der nach ihm benannten Drehwaage die Größen in folgenden Zusammenhang. Die Kraft nennt man Coulomb-Kraft. Durch sie wird die Fernwirkung der Ladung Q auf die Probeladung q beschrieben.

${\vec {F}}({\vec {r}})=\gamma \cdot {\frac {Q\cdot q}{r^{2}}}\,{\vec {e}}_{r}$

Die Interpretation des elektrischen Feldes im Sinne des Nahwirkungsprinzips erreicht man durch einführung eines neuen Feldes. Dem physikalischen elektrischen Feld wird weiteres vektorielles mathematisches Feld zugeordnet.

Satz von H. L. F. von Helmholtz: ein (mathematisches) vektorielles Feld (mit bestimmten Eigenschaften) wird i.w. durch das zugeordnete skalare Feld div(.) und das vektorielle Feld rot(.) eindeutig festgelegt.

Das legt nahe, dass ${\vec {D}}$ ein wirbelfreies Quellenfeld ist. Das Maß für die Quellen ist div(.) und das Maß für die Wirbel ist rot(.).

$\mathrm {div} ({\vec {D}})({\vec {r}}):=\rho ({\vec {r}})\qquad \mathrm {rot} {\vec {D}}:=0$

Poisson-Differentialgleichung

Die nach S. D. Poisson benannte Poisson-Differentialgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen einer Ladungsdichteverteilung ρ und dem von ihr erzeugten elektrischen Potential $\varphi$ für den Fall, dass $\varepsilon$ über den Raum konstant ist.

$\triangle \varphi ({\vec {r}})=-{\frac {\rho ({\vec {r}})}{\varepsilon }}$

Laplace-Differentialgleichung

Für den ladungsfreien Raum folgt aus der Poisson-Differentialgleichung die nach P. S. M. de Laplace benannte Laplace-Differentialgleichung.

$\triangle \varphi ({\vec {r}})=0$

Lösung der Differentialgleichungen

Die schwierigste Aufgabe für den Ingenieur ist es diese Differentialgleichungen geeignet zu lösen. Wichtig ist zu erkennen welche geeigneten Vereinfachungen getroffen werden können, um ans Ziel zu gelangen.

Der Ingenieur bedient sich vielfach numerischer Verfahren.

Eindutigkeitssatz

(G. Wunsch, S. 122): "Die große praktische Bedeutung eines Eindeutigkeitssatzes liegt darin, dass es unwesentlich ist, welche Lösungsmethode man zur Lösung der Poissonschen Dgl. verwendet. Wenn es gelingt, auf irgendeine Weise (z.B. durch ein "Probierverfahren" auf der Grundlage eines mathematisch nicht weiter legitimierten Lösungsansatzes) eine (partikuläre) Lösung einer Dgl. zu finden, die die geforderten Randwerte annimmt, so ist damit die einzige Lösung des Problems gefunden. Es ist dann unwichtig, wie diese Lösung im einzelnen ermittelt wurde."

• Separation der Variablen
• Produktansatz
• Überlagerung von Elementarfeldern
• Spiegelungsmethode
• Kelvin Transformation und konforme Abbildungen
• Funktionaltransformation

Spezialfälle

Multipolentwicklung

Ausgangspunkt: Die spezielle Lösung der Poisson-Differentialgleichung

$\varphi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon }}\iiint _{V}{\frac {\rho ({\vec {\tilde {r}}})}{\Vert {\vec {r}}-{\vec {\tilde {r}}}\Vert }}\;d{\tilde {V}}$

Taylorreihen Entwicklung von ${\frac {1}{\Vert {\vec {r}}-{\vec {\tilde {r}}}\Vert }}$

$\varphi ({\vec {r}})\approx \underbrace {\frac {Q_{ges}}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot \Vert {\vec {r}}\Vert }} _{\mbox{Monopolnäherung}}+\underbrace {\frac {{\vec {r}}\cdot P_{1}}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot \Vert {\vec {r}}\Vert ^{3}}} _{\mbox{Dipolnäherung}}$

Magnetische Felder in statischer Näherung

Verallgemeinerung Biot-Savart-Laplace Gesetz

Das Biot-Savart-Laplace-Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Ladungsstromdichteverteilung ${\vec {J}}$ und dem von ihr erzeugten Magnetfeld ${\vec {B}}$:

${\vec {B}}({\vec {r}})={\frac {\mu }{4\cdot \pi }}\iiint _{V}{\frac {{\vec {J}}({\vec {\tilde {r}}})\times ({\vec {r}}-{\vec {\tilde {r}}})}{\Vert {\vec {r}}-{\vec {\tilde {r}}}\Vert ^{3}}}\;d{\tilde {V}}$

Hilfsgröße ${\vec {A}}$

$\triangle {\vec {A}}=-\mu \cdot {\vec {J}}({\vec {r}})$

Coulomb-Eichung

${\mbox{div}}\;{\vec {A}}=0$

aber:

${\vec {B}}={\mbox{rot}}\;{\vec {A}}$

Die vollständigen Maxwellschen Gleichungen

Die Maxwellschen Gleichungen lassen sich mit dem Satz von Gauss und Stokes sowohl in differentieller als auch in integraler Schreibweise ausdrücken:

Maxwellsche Gleichungen

${\mbox{rot}}\;{\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$	$\leftrightarrow$	$\oint _{c}{\vec {H}}\;d{\vec {s}}=\iint _{A}\left({\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\right)\;d{\vec {A}}$
${\mbox{rot}}\;{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$	$\leftrightarrow$	$\oint _{c}E\;d{\vec {s}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{A}{\vec {B}}\;d{\vec {A}}$
${\mbox{div}}\;{\vec {B}}=0$	$\leftrightarrow$	$\iint _{A}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\subset \!\supset {\vec {B}}\;d{\vec {A}}=0$
${\mbox{div}}\;{\vec {D}}=\rho$	$\leftrightarrow$	$\iint _{A}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\subset \!\supset {\vec {D}}\;d{\vec {A}}=\iiint _{V}\rho \;dV$

Lorenz-Eichung

${\mbox{div}}\;{\vec {A}}+\mu \cdot \varepsilon \cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$

Pointing-Vektor

${\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}$

Materialgleichungen

Die Beziehungen zwischen:

${\vec {D}}{\mbox{ und }}{\vec {E}}\qquad {\vec {B}}{\mbox{ und }}{\vec {H}}\qquad {\vec {J}}{\mbox{ und }}{\vec {E}}$

werden durch die Materialgleichungen beschrieben.

Literatur

• G. Wunsch, H.-G. Schulz: Elektromagnetische Felder. VEB Verlag Technik, Berlin 1996, ISBN: 33-41011-55-2