Burali-Forti-Paradoxon

Das Burali-Forti-Paradoxon beschreibt in der naiven Mengenlehre den Widerspruch, an dem die Bildung der Menge aller Ordinalzahlen scheitert. Es ist nach seinem Entdecker Cesare Burali-Forti benannt, der 1897 zeigte, dass eine solche "Menge aller Ordinalzahlen" selbst einer Ordinalzahl $\,\Omega$ entspräche, zu der eine größere Nachfolger-Ordinalzahl $\,\Omega +1$ gebildet werden könnte, die kleiner oder gleich $\,\Omega$ wäre, woraus die unmögliche Ungleichung $\Omega <\Omega +1\leq \Omega$ folgte.

Das Paradoxon entdeckte gleichzeitig auch Georg Cantor, der es sogar verschärfte und in einem Brief an Hilbert 1897 darauf hinwies, dass eine Teilklasse der Ordinalzahlen, nämlich die Klasse aller Kardinalzahlen oder Alephs, keine wohldefinierte Menge ist.

In der axiomatischen Zermelo-Mengenlehre oder Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) kann keine Menge aller Ordinalzahlen mehr gebildet werden, da hier nur eine eingeschränkte Mengenbildung mit dem Axiom der Aussonderung gestattet ist. In ZF verhindert auch das Fundierungsaxiom sich-selbst-enthaltende Mengen, zu denen die Menge aller Ordinalzahlen gehören würde, da die Elementrelation auf den Ordinalzahlen die Kleiner-Relation ist, wenn man die Ordinalzahl-Definition von John von Neumann zugrunde legt. Die Klasse der Ordinalzahlen kann hier keine Menge sein. In der Klassenlogik kann sie aber widerspruchsfrei gebildet werden. Dort liefert dann das Burali-Forti-Paradoxon den Beweis dafür, dass die Klasse der Ordinalzahlen keine Menge, sondern eine sogenannte echte Klasse ist.

Siehe auch

• Russellsche Antinomie

Literatur

• Burali-Forti, Cesare: Una questione sui numeri transfiniti, in: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 11 (1897), Seite 154-164. Englische Übersetzung A question on transfinite numbers, in Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel, Cambridge, Massachusetts 1967, S. 104-112.

• Julien Linassier: Unendlich plus eins in Spektrum der Wissenschaft - Unendlich (plus eins). Ausgabe 2/2005, ISBN 3-938639-08-3, S. 36

• Erich Kamke: Mengenlehre, Sammlung Göschen 999, Berlin 1928 (1. Auflage), Berlin 1969 (6. Auflage)