Filter (Mathematik)

In der Mathematik ist ein Filter eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge mit bestimmten Eigenschaften. Ein häufig auftretender Spezialfall sind Filter in der Potenzmenge einer Menge, geordnet durch Mengeninklusion. Filter treten in der Theorie der Ordnungen und Verbände auf, aber auch in der Topologie. Das duale Konzept ist das Ideal einer Ordnung.

Allgemeine Definition

Eine nichtleere Teilmenge F einer halbgeordneten Menge (P, ≤) heißt Filter, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Für alle x ∈ F und y ∈ P gilt: Aus x ≤ y folgt y ∈ F (F ist eine Oberhalb-Menge),
2. Für alle x, y ∈ F gibt es ein z ∈ F, so dass z ≤ x und z ≤ y (F ist nach unten gerichtet).

Ein Filter heißt echter Filter, wenn er nicht ganz P ist.

Sind F₁ und F₂ Filter auf der gleichen halbgeordneten Menge P, so heißt F₂ feiner als F₁, wenn $F_{1}\subseteq F_{2}$. Ein maximal feiner Filter heißt Ultrafilter (siehe den dortigen Artikel für eine exaktere Definition und Anwendungen).

Während diese Definition von "Filter" die allgemeinste für beliebige halbgeordnete Mengen ist, wurden Filter ursprünglich für Verbände definiert. In diesem Spezialfall ist ein Filter eine nichtleere Teilmenge F des Verbandes (P, ≤), die eine Oberhalb-Menge ist und abgeschlossen unter endlichen Infima, d.h. für alle x, y ∈ F ist auch x ∨ y ∈ F.

Der kleinste Filter, der ein vorgegebenes Element p enthält, ist {x ∈ P | p ≤ x}. Filter dieser Form heißen Hauptfilter, und p ein Hauptelement des Filters. Der zu p gehörende Hauptfilter wird als $\uparrow p$ geschrieben.

Das zum Filter duale Konzept, das durch Umdrehen aller ≤ und durch Austausch von ∨ und ∧ entsteht, ist das Ideal. Aufgrund der Dualität untersucht man meist Ideale, da sich die Ergebnisse auf Filter durch Dualisierung übertragen lassen. Daher werden weiterführende Informationen (z.B. über maximale Filter und Primfilter) im Artikel Ordnungsideal gegeben.

Mengenfilter

Ein wichtiger Spezialfall eines Filters sind Mengenfilter. Das sind Filter in der Potenzmenge einer Menge S, die durch die Teilmengenrelation halbgeordnet ist. Ein Filter F auf einer Menge S ist damit eine Menge von Teilmengen von S mit den folgenden Eigenschaften:

1. S ist Element von F. (F ist nichtleer)
2. Die leere Menge ist nicht Element von F. (F ist echt)
3. Sind A und B Elemente von F, dann auch ihr Durchschnitt. (F ist abgeschlossen unter endliche Infima)
4. Ist A ein Element von F und A ⊆ B ⊆ S, dann ist auch B in F. (F ist eine Oberhalbmenge)

Diese Definition stimmt mit der oben gegebenen für echte Filter in Verbänden überein, da die Potenzmenge von S einen Verband bildet.

Ein einfaches Beispiel eines Mengenfilters ist die Menge aller Teilmenge von S, die eine bestimmte Teilmenge C von S enthalten. Ein solcher Filter heißt der von C erzeugte Hauptfilter. Der Fréchet-Filter auf einer unendlichen Menge S besteht aus allen Teilmengen von S, die ein endliches Komplement haben.

Für jeden Filter F auf der Menge S definiert man die Funktion

$m(A)=\left\{{\begin{matrix}\,1&{\mbox{falls }}A\in F\\\,0&{\mbox{falls }}S\setminus A\in F\\\,{\mbox{undefiniert}}&{\mbox{sonst}}\end{matrix}}\right.$

Diese ist endlich additiv -- ein "Maß" in einem sehr allgemeinen Sinn. Damit kann die Aussage

$\left\{\,x\in S:\varphi (x)\,\right\}\in F$

dahingehend interpretiert werden, dass die Bedingung φ "fast überall" gilt.

Diese "fast überall"-Interpretation des Enthaltenseins in einem Filter wird benutzt, um die Theorie von Ultraprodukten in der Modelltheorie zu motivieren, auch wenn sie in den eigentlichen Beweisen nicht verwendet wird.

Filter sind auch in der Topologie nützlich: Sie übernehmen dort die Rolle, die Folgen in metrischen Räumen haben. Die Menge aller Umgebungen eines Punktes x in einem topologischen Raum bildet einen Filter, den Umgebungsfilter von x. Ein Filter, der eine Obermenge des Umgebungsfilters von x ist, konvergiert gegen x. Beachte, dass in einem nicht-hausdorffschen Raum ein Filter gegen mehrere Punkte konvergieren kann.