Quaternion

Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Entdeckt wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Das Mengensymbol ist $\mathbb {H}$.

Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation.

Quaternionen werden formal als x₀ + x₁i + x₂j + x₃k ausgedrückt. (x₀, x₁, x₂, x₃) sind die reellen Realteile der Zahl. (i, j, k) sind die reellen Imaginärteile der Zahl. Quaternionen lassen sich also als Linearkombinationen reeller Koeffizienten mit der Basis <1,i,j,k> darstellen.

Überträgt man die aus den Zahlenkörpern $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ bekannten Operationen + (Addition) und * (Multiplikation) auf $\mathbb {H}$, erhält man einen Schiefkörper.

Operationen über zwei Quaternionen

Addition	Multiplikation
(x0 + x1i + x2j + x3k) + (y0 + y1i + y2j + y3k) = (x0 + y0) + (x1 + y1)i + (x2 + y2)j + (x3 + y3)k	(x0 + x1i + x2j + x3k) * (y0 + y1i + y2j + y3k) = (x0y0 - x1y1 - x2y2 - x3y3) + (x0y1 + x1y0 + x2y3 - x3y2)i + (x0y2 - x1y3 + x2y0 + x3y1)j + (x0y3 + x1y2 - x2y1 + x3y0)k
ist assoziativ und kommutativ	ist assoziativ aber nicht kommutativ

Dabei gilt:

ij =  k    jk =  i    ki =  j
ji = -k    kj = -i    ik = -j

i2 = j2 = k2 = -1

Man kann sehen, dass somit z.B. ijk = k² = -1 ist.

Die Verallgemeinerung der Quaternionen auf die Dimension 8 wird Cayley-Zahlen oder Oktaven genannt.

Praktische Anwendungen

Arthur Cayley entdeckte, dass sich mit Quaternionen Drehungen im Raum beschreiben lassen. Genutzt wird dies heutzutage im Bereich der interaktiven Computergrafik, insbesondere bei Computerspielen. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von Rotationsmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere, wenn viele Rotationen miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit.

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