Faltung (Mathematik)

Neben der auf dieser Seite beschriebenen Faltung, gibt es die eng damit zusammenhängende Faltung zahlentheoretischer Funktionen, die dort beschrieben wird.

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In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung einen mathematischen Operator, welcher für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert, die die "Überlappung" zwischen f und einer gespiegelten verschobenen Version von g angibt.

Definition

Für zwei auf dem reellen Intervall D definierte Funktionen f, g: D -> C wird die Faltung von f mit g als f*g notiert und ist definiert als das Integral über das Produkt von f mit einer gespiegelten verschobenen Version von g:

$(f*g)(t)=\int f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Der Integrationsbereich ist der Definitionsbereich D beider Funktionen. Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs werden f und g oft als periodisch fortgesetzt angenommen, damit der Faktor g(t - τ) stets definiert ist. Oft werden auch f und g stattdessen durch Null fortgesetzt.

Bedeutung

Die Faltung ist ein geeignetes Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge.

Die lineare Filterung eines elektronischen Signals stellt die Faltung der Original-Funktion mit der Impuls-Antwort dar.

Bei optische Abbildungen stellt das Bild die Faltung der originalen Bildfunktion mit der Punkt-Verbreiterungs-Funktion (Point Spread Function oder PSF) dar (Unschärfe).

Diffusions-Prozesse lassen sich durch die Faltung ebenfalls beschreiben.

Wenn X und Y zwei Zufallsprozesse mit den Verteilungsdichtefunktionen f und g sind, dann ist die Verteilungsdichtefunktion des Summenprozesses X+Y gegeben als f*g.

Diskrete Faltung

In der Digitalen Signalverarbeitung und der digitalen Bildverarbeitung hat man es meist mit diskreten Funktionen zu tun. Die diskrete Faltung ist definiert als:

$(f*g)(n)=\sum _{k}f(k)g(n-k)$

Auch dabei hängen die Summationsgrenzen von der Art der Funktionen f,g: D -> C ab (dabei ist D Teilmenge von Z).

Das Produkt zweier Polynome f und g ist z.B. die diskrete Faltung ihrer mit Nullen fortgesetzten Koeffizientenfolgen. Die dabei auftretenden unendlichen Reihen haben stets nur endlich viele Nichtnull-Summanden. Analog definiert man das Produkt zweier formaler Laurentreihen mit endlichem Hauptteil.

Glättungskern

Eine Methode, eine Funktion f zu "glätten", besteht darin, sie mit einem so genannten "Glättungskern" zu falten. Die entstehende Funktion F ist glatt (unendlich oft stetig differenzierbar), ihr Träger ist nur etwas größer als der von f, und die Abweichung in der L1-Norm läßt sich durch eine vorgegebene positive Konstante beschränken.

Ein d-dimensionaler Glättungskern (engl. mollifier) ist eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion j: R^d -> R, die nichtnegativ ist, ihren Träger in der abgeschlossenen Einheitskugel B(0, 1) hat und das Integral 1 hat.

Ein Beispiel ist der Glättungskern

$j(x)={\begin{cases}\exp({\frac {-1}{1-|x|^{2}}})&-1<x<1\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}$

Aus dieser Funktion kann man weitere Glättungskerne bilden, indem man für eine Zahl e zwischen 0 und 1 setzt:

$j_{e}(x)={\frac {1}{e^{d}}}j({\frac {x}{e}})$.

Glättungskerne j und j_1/2

Beispiele

Sei f: R -> R mit

$f(x)={\begin{cases}1&-1\leq x\leq 1\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}$.

(Rot dargestellt.)

Die Faltung F:=f * j_1/2 ist eine glatte Funktion mit kompaktem Träger, die von f in der Integralnorm (L₁-Norm) um etwa 0,4 abweicht, d.h.

$\int |F(t)-f(t)|dt<0.4$.

(Blau dargestellt.)

Bei der Faltung mit kleinerem e statt e=1/2 erhält man glatte Funktionen, die in der Integralnorm noch dichter bei f liegen.

Eigenschaften der Faltung

• Kommutativität

$f*g=g*f$

• Assoziativität

$f*(g*h)=(f*g)*h=f*g*h$

• Distributivität

$f*(g+h)=(f*g)+(f*h)$

• Assoziativität mit der skalaren Multiplikation

$a(f*g)=(af)*g=f*(ag)$

Wobei a eine beliebige komplexe Zahl ist.

• Faltungstheorem

${\mathcal {F}}(f*g)=({\mathcal {F}}f)\cdot ({\mathcal {F}}g)$

Wobei ${\mathcal {F}}f$ die Fouriertransformierte von $f$ beschreibt. Dieses Theorem gilt auch für die Laplacetransformation.

• Ableitungsregel

D(f * g) = Df * g = f * Dg

Dabei ist Df die Ableitung f ' von f bzw. im diskreten Fall die Differenz Df(n) = f(n+1) - f(n).

Verallgemeinerungen

Die beiden Faltungsbegriffe können gemeinsam beschrieben und verallgemeinert werden durch einen allgemeinen Faltungsbegriff für komplexwertige m-integrierbare Funktionen auf einer geeigneten topologischen Gruppe G mit einem Maß m (z.B. einer lokal kompakten hausdorffschen topologischen Gruppe mit einem Haar Maß):

$(f*g)(x)=\int _{G}f(t)g(xt^{-1})dm(t)$

Zur Formulierung eines Faltungstheorems benötigt man dann eine Darstellungstheorie für Gruppen dieser Art und das Peter-Weyl Theorem der harmonischen Analysis. Man beschränkt sich meist auf die Betrachtung von Lie-Gruppen, da die genügend Struktur haben, um die Integrale zu berechnen.

(Ist das so korrekt? Habs nach bestem Wissen aus dem englischen Artikel übersetzt.)

Eine andere Verallgemeinerung ist die Faltung von Distributionen.