Zahlenmenge

Kurze Übersicht

natürliche Zahlen

Unter natürlichen Zahlen versteht man alle positiven Zahlen inklusive der Null. Natürliche Zahlen werden mit diesem Symbol dargestellt: $\mathbb {N}$

Beispiele: 0, 1, 2, 3, ...

ganze Zahlen

Ganze Zahlen werden mit diesem Symbol dargestellt: $\mathbb {Z}$

Beispiele: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

rationale Zahlen

Zu den rationalen Zahlen gehören alle Zahlen, die man als Bruch dargestellen kann. Sie werden mit diesem Symbol dargestellt: $\mathbb {Q}$

Beispiele: ${7 \over 13}$ , 1.8

irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind nicht als Bruch darstellbare Zahlen, die ausserdem nicht periodisch und nicht abbrechend sind.

Beispiele: ${\sqrt[{}]{2}},{\sqrt[{3}]{17}}$

reelle Zahlen

Reelle Zahlen sind alle rationalen und irrationalen Zahlen zusammen. Sie werden mit diesem Symbol dargestellt: $\mathbb {R}$

Beispiele: π, e (Eulersche Zahl)

komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen erlauben es uns Gleichungen wie X² = -1 zu lösen, was mit den reellen Zahlen nicht möglich ist, da eine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert immer eine positve Zahl ergibt.

Um diesem Problem entgegen zu wirken, erweitert man die reellen Zahlen um die imaginäre Zahl i. Diese mit sich selbst mulipliziert ergibt -1:

$i^{2}$ = -1

Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginären Teil:

15 + 3i

15 ist der Realteil, 3 der Imaginärteil.

Für komplexe Zahlen verwendet man dieses Symbol: $\mathbb {C}$

hyperkomplexe Zahlen (Quaternionen)

Hyperkomplexe Zahlen, die durch die Elemente des Quaternionenrings dargestellt werden, sind eine Erweiterung der komplexen Zahlen. Sie bilden in ihrer algebraischen Struktur nur einen Schiefkörper, da sie nicht kommutativ sind.

Dieser Zahlenbereich wird mit $\mathbb {H}$ bezeichnet.

Cayley-Zahlen

Hinzu kommen Cayley-Zahlen (Oktave), die eine achtdimensionale Erweiterung der reellen Zahlen (ein zweidimensionales Element des Quaternionenrings) ergeben. Die Bezeichnung lautet $\mathbb {O}$ .

Allgemein

Allgemein gilt: $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O}$

Übersicht

Bezeichnung	Symbol	Definition
natürliche Zahlen	N	{1, 2, 3, ...}
natürliche Zahlen mit 0	N₀	{0, 1, 2, 3, ...}
natürliche Zahlen ab k	N_k	{k, k+1, k+2, ...}
natürliche Zahlen zwischen u und o	N_u^o	{u, u+1, u+2, ..., o}
ganze Zahlen	Z	{..., -2, -1, 0 , 1, 2, ...}
gerade Zahlen	G	{-4, -2, 0, 2, 4, ...}
positive gerade Zahlen	G₊	{0, 2, 4, ...}
negative gerade Zahlen	G_-	{-2, -4, ...}
ungerade Zahlen	U	{-5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}
positive ungerade Zahlen	U₊	{1, 3, 5, ...}
negative ungerade Zahlen	U_-	{-1, -3, -5, ...}
Primzahlen	P	{2, 3, 5, 7, 11, ...}
Rationale Zahlen (Brüche)	Q	{p/q }
Irrationale Zahlen	Q	{ ${\sqrt[{}]{2}}$ }
reelle Zahlen	R	π, e
hyperreelle Zahlen	*R
komplexe Zahlen	C	{a+bi}
hyperkomplexe Zahlen	H
Cayley Zahlen	O