Gleichverteilung

Der Begriff Gleichverteilung stammt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit bestimmten Eigenschaften. Im diskreten Fall tritt jeder mögliche Zustand mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein, im stetigen Fall ist die Dichte konstant. Der Grundgedanke einer Gleichverteilung ist, dass es keine Präferenz gibt.

Beispielsweise sind die Ergebnisse beim Würfeln die sechs möglichen Zustände nach einem Wurf: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes dieser Werte beträgt 1/6, da sie für jeden möglichen Wert gleich groß ist und die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss.

Dadurch unterscheidet sie sich von der Normalverteilung, bei der "mittlere" Werte eine höhere Wahrscheinlichkeit als extreme Werte haben.

Diskreter Fall

Sei $\Omega$ eine endliche Menge. Dann ist die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ eines Ereignisses $A$ mit $A\subseteq \Omega$ definiert als

{\mathcal {P}}(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {{\text{Anzahl der Elemente von }}A}{{\text{Anzahl der Elemente von }}\Omega }}.

Für genauere Informationen siehe Diskrete Gleichverteilung.

Stetiger Fall

Sei $\Omega$ ein endliches reelles Intervall, also $\Omega =[a,b]$ für $a,b\in \mathbb {R}$ . Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ ist definiert als

P(A)=\int _{A}{\frac {1}{\lambda (\Omega )}}\,\mathrm {d} x={\frac {\lambda (A)}{\lambda (\Omega )}}={\frac {\lambda (A)}{b-a}},

wobei $\lambda$ das Lebesgue-Maß bezeichnet. Insbesondere gilt für ein Teilintervall $A=[c,d]\subset [a,b]$

P(A)={\frac {\lambda (A)}{\lambda (\Omega )}}={\frac {d-c}{b-a}}.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist hier eine konstante Funktion $\rho$ mit $\rho (x)={\tfrac {1}{\lambda (\Omega )}}={\tfrac {1}{b-a}}$ .

In einer ähnlichen Weise kann man eine stetige Gleichverteilung auch auf Teilmenge des $n$ -dimensionalen Raumes $\mathbb {R} ^{n}$ erklären. In diesem Fall erhält man

P(A)=\int _{A}{\frac {1}{\lambda ^{n}(\Omega )}}\,\mathrm {d} x={\frac {\lambda ^{n}(A)}{\lambda ^{n}(\Omega )}},

wobei $\lambda ^{n}$ das $n$ -dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.

Für genauere Informationen siehe Stetige Gleichverteilung.

Beispiele

Beim Würfeln eines idealen Würfels ist die Wahrscheinlichkeit einer Augenzahl zwischen eins und sechs, gewürfelt zu werden, 1/6.
Beim Münzwurf einer idealen Münze ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine der beiden Seiten oben zu liegen kommt, 1/2.
Im Weißen Rauschen sind die Frequenzen stetig gleichverteilt.

Laplace

Die Gleichverteilung war Forschungsgebiet für Pierre-Simon Laplace, der vorschlug, dass man, wenn man auf einem Wahrscheinlichkeitsraum das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht kenne, erst einmal Gleichverteilung annehmen solle (Indifferenzprinzip). Nach ihm nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathfrak {P}}(\Omega ),{\mathcal {U}}_{\Omega })$ für endliches Ω auch Laplace-Raum.

Siehe auch