Bildverarbeitung

Die (digitale) Bildverarbeitung nutzt die Mittel der Signalverarbeitung zur Aufbereitung und Speicherung von visuellen Informationen. Im Gegensatz zur Bildbearbeitung, welche sich mit der Manipulation von Bildern zur anschließenden Darstellung beschäftigt, dient die Bildverarbeitung als eine Zwischenstufe zu einer weitergehenden maschinellen Bearbeitung (Bildverstehen, Mustererkennung).

Objekte der Bildverarbeitung

Die in der Bildverarbeitung manipulierten Objekte lassen sich nach verschiedenen Gesichtspunkten klassifizieren:

Typ

Reflektionsbilder (z.B. Kameraaufnahmen, Radaraufnahmen, Multispektralaufnahmen)
Projektionsbilder (z.B. Röntgenaufnahmen, Ultraschall, Elektrophoretogramme)
Schematisierte Bilder (z.B. Karten, Pläne, Dokumente)

Codierung

Rasterbilder (z.B. konventionell auf quadratischem Gitter)
Kettencodierung (durch Richtungsangaben beschriebene Bildlinien)
Transformationscodierung (Ergebnis einer Reihenentwicklung)
Fraktale Codierung (Ausnutzung von Selbstähnlichkeit)

Operationen der Bildverarbeitung

Filter

Die Operationen, die ein Eingangsbild mit Hilfe einer mathematischen Abbildung in ein Ausgabebild überführen, heißen Filter. Die folgenden Filter beziehen sich im Wesentlichen auf Rasterbilder.

Ziel einer Filterung ist im Allgemeinen eine Verbesserung eines Musters. Im Einzelnen kann dies eine Reduktion störender Anteile, eine Hervorhebung informativer Anteile bzw. die Restauration eines idealen Musters sein. Die Abbildung welche ein gegebenes Bild auf ein Ausgabebild abbildet, heißt Transformation.

Die Funktionsfamilie $g_{\mu }$ mit $g_{\mu }=\Im \{\delta _{\mu }\}(\mu \in \mathbb {R} )$ heißt Impulsantwort des linearen Systems $\Im$ . $\delta _{\mu }:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist die Diracsche Deltafunktion mit Impuls bei $x=\mu$ .

Lineares System

Ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal von Transformationen ist ihre mathematische Beschaffenheit. Eine Transformation $\Im$ heißt Lineares System wenn für alle Funktionen $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ und alle Skalare $a,b\in \mathbb {R}$ gilt:

\Im (af+bg)=a\Im (f)+b\Im (g)

Lineare Systeme (=LSI-Systeme) und damit lineare Filter sind praktisch hinreichend und mathematisch handhabbar. Für gewöhnlich konstruiert man LSI-Systeme mit den zusätzlichen Eigenschaften:

Kausalität: Für die Impulsantwort $g=g_{j}$ gilt für $j<0$ : $g_{j}=0$ und damit $h_{j}=\sum _{k=0}^{\infty }f_{j-k}g_{k}$ .
Stabilität: $\sum _{j=-\infty }^{+\infty }|g_{j}|<\infty$

Wahrend man symbolisch das Filtern einer Folge $f=[f_{k}]$ ( $f=[f_{kl}]$ ) mit einem linearen System $\Im$ zu einer Folge $h=[h_{k}]$ ( $h=[h_{kl}]$ )schreibt, liegt die Transformation $\Im$ meist mit Ihrer Impulsantwort $g=[g_{k}]$ ( $g=[g_{kl}]$ ) vor. Man berechnet dann h, indem f und g diskret gefaltet werden:

1-dimensional: $h_{k}=\sum _{j=-\infty }^{+\infty }f_{j}g_{k-j}$
2-dimensional: $h_{kl}=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }\sum _{j=-\infty }^{+\infty }f_{ij}g_{k-i,l-j}$

Fouriertransformation

Werden Bilder als Folge von Farbwerten dargestellt, spricht man von einer Darstellung im Zeit-Raum oder Impuls-Raum. Aus diesem lassen sich Bilder injektiv in den sogenannten Frequenz-Raum überführen, in welchem nicht mehr die Farbwerte selbst, sondern die Frequenz- und Phasenanteile der zugrundeliegenden Punktfolge gespeichert werden. Große Sprünge innerhalb der Farbwertsequenz stehen dann für hohe Frequenzen, weiche Farbwertübergänge für niedrige Frequenzen. Die Fourietransformierte gibt schließlich an, wie durch alleinige Überlagerung von Sinusfunktionen verschiedener Frequenz und Phasenwinkel, der ursprüngliche Farbwertverlauf rekonstruiert werden kann.

Der Vorteil dieser Darstellung liegt in ihrer höheren Effizienz bei der Anwendung linearer Filter. Im Impuls-Raum bedeutet die Faltung der das Bild beschreibenden Farbwertfolge $f_{i}$ mit der Impuls-Antwort $g_{\mu }$ (der Transformationsabbildung) des Filters eine Summation (der Gewichtung der Impulse mit der Impulsantwort) über die gesamte Filterlänge ein. Im Frequenzraum hingegen berechnet sich die Faltung als Produkt der Fouriertransformierten mit der Frequenzantwort der Transformation $\Im$ . Dieser Vorteil bezüglich der Rechenzeit ist so groß, das selbst der Aufwand der Hin- und Rücktransformation in den Frequenzraum in Kauf genommen werden kann. Dieser Aufwand lässt sich mit Hilfe der Fast-Fourier-Transformation deutlich senken.

Von Vorteil ist des weiteren die Vereinfachung, Filter direkt im Frequenzraum designen zu können, anstatt Impulsantworten bauen und ihre Wirkung auf das Spektrum berechnen zu müssen. Damit erübrigt sich gleichsam die Transformation der Impulsantwort $g_{k}$ in die zugehörige Frequenzantwort $G(z)$ .

Klassifikation von Filtern

Lässt sich ein LSI-System $\Im$ eines Filters $h=\Im \{f\}$ mit der Impulsantwort $b$ durch

h_{j}=\sum _{m=1}^{M}b_{m}f_{j-m}

oder durch seine Frequenzantwort

G(z)=B(z^{-1})=\sum _{m=0}^{M}b_{m}z^{-m}

beschreiben, so nennt man den Filter FIR-Filter (finite impulse response). Jeder transformierte Wert hängt damit allein von der konstanten Impulsantwort und damit endlich vielen Nachbarn ab.

Es lasse sich die Operation $h=\Im \{f\}$ eines LSI-Systems durch eine Differenzengleichung

\sum _{n=0}^{N}a_{n}h_{j-n}=\sum _{m=0}^{N}b_{m}f_{j-m}

beschreiben. Man nennt einen Filter AR-Filter (autoregressive), wenn er sich durch

h_{j}=\sigma f_{j}-\sum _{n=0}^{N}a_{n}h_{j-v}

darstellen läßt, oder die Frequenzantwort

G(z)={\frac {\sigma }{A(z^{-1})}}=\sigma /\sum _{n=0}^{N}a_{n}z^{-m}

besitzt. Man nennt einen Filter ARMA-Filter (autoregressive moving average), wenn er sich durch $h_{j}=\sum _{m=0}^{M}b_{m}f_{j-m}-\sum _{n=1}^{N}a_{n}h_{j-v}$

darstellen läßt, oder die Frequenzantwort

G(z)={\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1}}}=\sum _{m=0}^{M}b_{m}z^{-m}/\sum _{n=0}^{N}a_{n}z^{-n}

besitzt. Filter der Art AR oder ARMA mit einer rekursiven Berechnungsformel für $h$ nennt man IIR-Filter (infinite impulse response).

Filter nach Anwendungsgebieten

Glättung

Durch Glättung kann das Bildrauschen vermindert werden, grobere Strukturen bleiben dagegen erhalten. Auf das Frequenzspektrum eines Bildes bezogen kommt eine Glättung einem Tiefpassfilter gleich. Typische FIR-Glättungsfilter sind

Mittelwertfilter (box filter): Ein Mittelwertfilter der Größe $n\times m$ wird durch eine $n\times m$ -Impulsantwortmatrix $g_{nm}=(nm)^{-1}$ beschrieben. Die Bildpunkte des transformierten Bildes sind somit die Mittelwerte ihrer $n\times m$ Nachbarn. Box-Filter sind nicht isotrop und nicht abklingend und stellen entgegen einer naiven Einschätzung keinen eigentlichen Tiefpassfilter dar.
Gaußfilter: Gaußfilter der Größe $n\times m$ und einer Varianz $\sigma ^{2}$ werden durch eine Impulsantwortmatrix $g_{nm}={\frac {1}{2\pi \sigma ^{1}}}e^{-{\frac {n^{2}+m^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ beschrieben. Die Nachbarpunkte des Ausgangsbildes gehen damit nicht wie beim box-filter gleichwertig ein, sondern werden entsprechend einer zweidimensionalen Gaußglocke gewichtet. Gaußfilter sind damit isotrop und abklingend.

Nichtlineare Glättungsfilter:

Medianfilter
k-zentriertes Mittel
k-NN-Filter
$\delta$ -Nachbarschaftsfilter
Lee's Filter
Minimum-Varianz-Filter

Kantenhervorhebung

Werden anstatt der absoluten Farbwerte die Abweichung zu den benachbarten Punkten signalisiert, so werden die Objektkonturen, d.h. harte Farbübergänge, eines Bildes hervorgehoben während weiche Übergänge abgeschwächt werden. Häufig finden folgende FIR-Filter Anwendung:

Ableitungsfilter
Laplacefilter

Nichtlineare Kantendetektoren:

Varianzfilter
Extremalspannenfilter
Roberts-Kreuz
Kirsch-Filter
Gradientenfilter
- Prewit-Filter
- Sobel-Filter
- Canny-Filter

Schwellwertoperationen

Sollen Bilder in kleinere Farbräume konvertiert werden, ergibt sich das Problem der Bestimmung adäquater Schwellwerte. Eine klassische Aufgabe ist die Binarisierung eines Grauwertbildes. Typische Schwellwerte können aus dem Grauwerthistogramm eines Bildes gewonnen werden:

Mittelmäßiger Grauwert
Mittlerer oder erwarteter Grauwert
Grauwertmedian
Hauptsenken (zentralste relative Extremstellen des Grauwerthistogramms)
Maximum-Entropie-Schwellwert

Andere Methoden bieten ein Grauwertmischverteilungsmodell oder der Intermeans-Algorithmus.

Morphologische Operationen

Während Grauwertrasterbilder für Gewöhnlich als Abbildung von Koordinatenpaaren auf Farbwerte dargestellt werden, bietet sich für Binärbilder eine Darstellung als Menge der gesetzten Pixel an. Operationen können dann als Mengenoperation zwischen den Rasterpunktmengen des Binärbildes und eines Strukturelementes beschrieben werden. Aus den Basisoperationen der Morphologischen Bildverarbeitung, der Erosion und Dilatation, lassen sich die Operationen Öffnung, Schließung und schließlich die Morphologische Glättung definieren.

Transformation

Transformationen von diskreten Bildern gestalten sich gegenüber stetigen Bildern ungemein schwieriger, da Transformationen im Allgemeinen nicht gitterkonform sind. Neben der eigentlichen Transformation muss daher geeignet interpoliert werden. Typischer Transformationen sind:

Skalierung
Rotation
Neigung
(Translation)

Normierung

Eine Meta-Manipulation von Bildern stellt das Feld der Normierung dar. Sie dient dem Abstrahieren von irrelevanten Eigenschaften und der Reduktion von Mustervariabilität. Unproduktive Parameter werden dabei auf einen Standardwertgesetzt. Sie ist damit in der Mustererkennung als Vorverarbeitung von großer Bedeutung. Normierbare Parameter sind unter anderen Intensität, Größe, Lage oder Dicke/Stärke.

Programme zur Bildverarbeitung

Siehe auch: Bildbearbeitung, Snakes