Parameterintegral

Einige Integrale in der Analysis lassen sich elementar nicht ausdrücken. Ferner gibt es so genannte Parameterintegrale, wie beispielsweise die Gammafunktion.

Bezeichnung des Parameterintegrals

Sei $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ messbar und $E\neq \varnothing$. Ferner sei $\varnothing \neq D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $f:D\times E\to \mathbb {R}$. Für $f(x,t)$ ist $x\in D$ und $t\in E$. $f$ ist bezüglich $t$ integrierbar über $E$. Dann heißt $F:D\to \mathbb {R}$

$F(x)=\int _{E}f(x,t)\mathrm {d} t$

Parameterintegral (auch Parameter-Integral) mit dem Paramter $x$.

Beispiel für Parameterintegrale

Die Gammafunktion

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\mathrm {d} t.$

Differenzieren des Parameterintegrals

Sind für das Paramterintegral feste Grenzen vorgegeben, kann man es nach folgender Regel ableiten:

(Die Stetigkeit der Funktion $f$ und $f_{t}$ vorrausgesetzt)

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{a}^{b}f(x,t)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f_{t}(x,t)\mathrm {d} x$

Leibnizregel für Parameterintegrale

Für die Praxis ist auch relevant, wie man Parameterintegrale mit abhängigen Funktion von $t$ in den Grenzen ableitet. Nach der Regel von Leibniz (Leibnizregel, auch Leibniz-Regel) geschieht das nach folgendem Verfahren:

Für stetig differenzierbare Funktionen $\chi$, $\varphi$ und $f$ gilt

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \limits _{\chi (t)}^{\varphi (t)}f(x,t)\mathrm {d} x=\int \limits _{\chi (t)}^{\varphi (t)}f_{t}(x,t)\mathrm {d} x+f(\varphi (t),t)\varphi '(t)-f(\chi (t),t)\chi '(t).$

oder in Differentialschreibweise nach Leibniz

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \limits _{\chi (t)}^{\varphi (t)}f(x,t)\mathrm {d} x=\int \limits _{\chi (t)}^{\varphi (t)}{\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)\mathrm {d} x+f(\varphi (t),t){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (t)-f(\chi (t),t){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\chi (t).$