Hypergeometrische Verteilung

Allgemeine Problemstellung:

Zu einer Menge mit a Elementen gibt es zwei voneinander unabhängige Teilmengen mit b, bzw. c Elementen.
Die Hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Parametern a, b und c H _a,b,c gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die beiden Teilmengen genau 0, 1, 2, 3, ... Elemente gemeinsam besitzen.

Beispiele:

In einem Behälter befinden sich 45 Kugeln, davon sind 20 gelb. Es werden 10 Kugeln entnommen.
Die Verteilung H _45,20,10 gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau 0, 1, 2, 3, ..., 10 der entnommenen Kugeln gelb sind.

Beim Zahlenlotto gibt es 49 numerierte Kugeln; davon werden bei der Auslosung 6 gezogen; auf dem Lottoschein werden 6 Zahlen angekreuzt.
Die Verteilung H _49,6,6 gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, genau 0, 1, 2, 3, ..., 6 "Treffer" zu erzielen.

Hilfsgröße "a über b":

Die Zahl "a über b" bezeichnet die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, aus einer Menge mit a Elementen eine Teilmenge mit b Elementen auszuwählen.
Es gilt: ( a über b ) = ( a * ( a - 1 ) * ( a - 2 ) * ... * ( a - b + 1 ) ) / ( 1 * 2 * 3 * ... * b )
Beispiel: ( 10 über 3 ) = ( 10 * 9 * 8 ) / ( 1 * 2 * 3 ) = 720 / 6 = 120
Es gilt immer: ( a über 0 ) = 1

Die hier benötigte Hilfsgröße "a über b" wird im allgemeinen als Binomialkoeffizient bezeichnet und besitzt eine eigene Darstellung: ${a \choose b}$

Rechenbeispiel H _45,20,10 ( 4 ):

Zu dem oben aufgeführten Beispiel der farbigen Kugeln soll die Wahrscheinlichkeit für genau 4 gelbe Kugeln ermittelt werden.
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus:
Anzahl der Möglichkeiten, genau 4 gelbe ( und damit genau 6 violette ) Kugeln auszuwählen
geteilt durch
Anzahl der Möglichkeiten, genau 10 Kugeln beliebiger Farbe auszuwählen

Es gibt ( 20 über 4 ) = 4845 Möglichkeiten, genau 4 gelbe Kugeln auszuwählen.
Es gibt ( 25 über 6 ) = 177100 Möglichkeiten, genau 6 violette Kugeln auszuwählen.
Da jede "gelbe Möglichkeit" mit jeder "violetten Möglichkeit" kombiniert werden kann, ergeben sich 4845 * 177100 = 858049500 Möglichkeiten für genau 4 gelbe und 6 violette Kugeln.

H 45,20,10 ( 4 )

= ( 20 über 4 ) * ( 25 über 6 ) / ( 45 über 10 )  = 4845 * 177100 / 3190187286  = 858049500 / 3190187286  = 0.2689652434405696

Das heißt, in rund 27 Prozent der Fälle werden genau 4 gelbe Kugeln entnommen.

Eigenschaften der Hypergeometrische Verteilung:

Für alle natürliche Zahlen a, b, c, d mit a >= b und a >= c gilt:

• H _a,b,c = H _a,c,b
• H _a,b,c ( d ) = H _a,c,b ( d )
• H _a,b,c ( d ) = ( b über d ) * ( ( a - b ) über ( c - d ) ) / ( a über c )
• H _a,b,c ( d ) = ( c über d ) * ( ( a - c ) über ( b - d ) ) / ( a über b )
• Die Verteilung H _a,b,c besitzt den Erwartungswert b * c / a
• Die Verteilung H _a,b,c besitzt die Streuung ( b * c / a ) * ( 1 - b / a ) * ( a - c ) / ( a - 1 )
• Die Hypergeometrische Verteilung kann unter bestimmten Umständen durch die Binomialverteilung angenähert werden.

Mathematische Definition

Die Massefunktion der Hypergeometrischen Verteilung ist

$P(X=x)={\frac {{N \choose x}{M \choose n-x}}{N+M \choose x}}$

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ mit Hypergeometrischer Verteilung ist

$E[X]={\frac {nM}{N+M}}$

Und ihre Varianz

$V[X]={\frac {nNM}{(N+M)^{2}}}(1-{\frac {n-1}{N+M-1}})$