Spirale

Dieser Artikel behandelt die Spirale als geometrische Figur. Siehe auch: Spirale (Verhütung)

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Eine Spirale ist eine Kurve, die um einen zentralen Punkt oder Achse verläuft und, je nach Laufrichtung, sich immer weiter von diesem/r entfernt oder annähert.

Spirale vs. Schraube

Datei:TORUSJ Schraube und archimedische Spirale.PNG

Die Spirale wird des öfteren mit der völlig anders geformten Schraube verwechselt.

Während die prototypische Spirale ein Gebilde in der Ebene ist, wie zum Beispiel die Rillen einer Schallplatte, oder die Arme einer Spiralgalaxie, ist die Schraube ein räumliches Gebilde entlang des Mantels eines Zylinders.

Im ersten Bild liegt eine archimedische Spirale als schwarze Kurve unten auf dem Boden, während die Schraube als grüne Kurve an der Außenwandung des Zylinders sichtbar ist.

Die Überlagerungskurve von Spirale und Schraube, die im ersten Bild rot eingezeichnet ist, wird als konische Spirale oder kegelförmige Raumspirale bezeichnet.

Spiraltypen

Ebene Spiralen

Man kann diese Spiralen mathematisch am besten als Koordinatengleichungen im ebenen Polarkoordinatensystem beschreiben, wobei r als Funktion von Φ dargestellt wird; Φ läuft im Allgemeinen bis unendlich anstatt nur bis 2π. Im Folgenden sind jeweils eine Formel für r(Φ) und die Länge s der Spirale von Φ = 0 weg angegeben.

Die archimedische Spirale entsteht z.B. beim Aufwickeln eines gleichmäßig dicken Teppichs.

$r(\phi )=a\cdot \phi$

$s(\phi )={\frac {a}{2}}\cdot \left(\ln \left({\sqrt {\phi ^{2}+1}}+\phi \right)+\phi \cdot {\sqrt {\phi ^{2}+1}}\right)$

Die logarithmische Spirale entsteht z.B. beim Wachstum von Schneckenhäusern.

$r(\phi )=b\cdot e^{a\cdot \phi }$

Länge vom Koordinatenursprung ($\phi =-\infty$) weg:

$s(\phi )={\frac {b\cdot e^{a\cdot \phi }\cdot {\sqrt {a^{2}+1}}}{a}}$

Die hyperbolische Spirale, schwarze Kurve oben im zweiten Bild, sieht man z.B. beim senkrechten Blick durch eine Wendeltreppe (siehe auch die Zentralprojektion).

$r(\phi )={\frac {a}{\phi }}$

In dieser Gleichung läuft die Spirale mit wachsendem Φ von außen (unendlich ferner Punkt bei Φ=0) nach innen; die Entfernung auf der Spirale von einem beliebigen Punkt der Spirale bis zum Koordinatenursprung ist jedoch auch unendlich, deshalb ist hier die Entfernung zwischen zwei Punkten mit den Winkeln Φ und Θ angegeben.

$s(\phi ,\theta )=a\cdot \left({\frac {\sqrt {\phi ^{2}+1}}{\phi }}-{\frac {\sqrt {\theta ^{2}+1}}{\theta }}-\ln \left(\left({\sqrt {\phi ^{2}+1}}+\phi \right)\cdot \left({\sqrt {\theta ^{2}+1}}-\theta \right)\right)\right)$

Es existieren noch einige weitere mathematische Funktionen, die ebene Spiralen erzeugen.

Dreidimensionale Spiralen

Konische Spirale entlang eines Kreises. Eine Überlagerung von Schraube und Spirale, entlang des Mantels eines Kegels, dessen Mittellinie zu einem Kreis gekrümmt ist. Frei nach M. C. Escher

Der dieser Zeichnung zugrunde liegende Kegelmantel erinnert an das Ouroboros-Motiv, und kann als ein Torus mit stetig zunehmenden Ringdurchmesser aufgefasst werden:

Archimedische Kugelspirale

Loxodrome

Die Archimedische Kugelspirale (linkes Bild):

Bei einer archimedischen Spirale vergrößert sich der Abstand zum Mittelpunkt linear zum anwachsenden Winkel ihres Umlaufes. Auf einer Kugeloberfläche wird dieser Abstand als der Winkelabstand von einem ihrer Pole gemessen. Daher ist die Archimedische Kugelspirale eine Linie von endlicher Länge, und nicht mit der Loxodrome (rechtes Bild) identisch.

Siehe auch

• Liste geometrischer Kurven

Weblinks

• http://www.mathematische-basteleien.de/spirale.htm