Eulersche Zahl

Die nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannte Eulersche Zahl $e=2{,}718281828459...$ ist eine irrationale (zum Beweis hier) und transzendente Zahl. Wie die Kreiszahl π lässt sie sich weder als Bruch zweier natürlicher Zahlen noch als Lösung einer algebraischen Gleichung endlichen Grades darstellen.

Die Eulersche Zahl ist die Basis des so genannten natürlichen Logarithmus. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine wichtige Rolle.

e-Funktion

Datei:E hoch x.png

e-Funktion graphisch

Die e-Funktion (Exponentialfunktion) f(x)=e^x = e^x (gesprochen e hoch x) hat die Eulersche Zahl als Basis.

Als Besonderheit bleibt die e-Funktion beim Differenzieren unverändert. Dies bedeutet, dass die Ableitungsfunktion der e-Funktion wiederum die e-Funktion ist. Es gilt:

{\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}

Die Ableitung von f(x)=e^x ist gleich f(x).

Diese Eigenschaft ist auch für bestimmte Differenzialgleichungen von Bedeutung. So sind beispielsweise die Lösungen der Differenzialgleichung f'(x) = f(x) genau alle Vielfachen der Exponentialfunktion, also alle Funktionen der Form f(x)=c*e^x, wobei c eine beliebige Konstante ist.

Definition von e

Die Zahl e kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die zwei bekanntesten Darstellungen dieser transzendenten Zahl lauten:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$
$e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\dots$

wobei man letztere Formel durch die Fakultätsschreibweise mit dem "!"-Zeichen im allgemeinen abkürzt zu

e=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dots

Sie stammt aus der Taylorentwicklung der e-Funktion um Null.

Da e eine irrationale Zahl ist, ist der entstehende Dezimalbruch unendlich und nicht periodisch.

Es gilt:

e^{i\cdot \pi }=-1

Dies ist die Eulersche Identität. (Wobei i die imaginäre Einheit und

\pi

die Kreiszahl Pi ist.)

Herkunft von e

Der Buchstabe e für diese Zahl wurde zuerst von Euler benutzt, es ist jedoch anzunehmen, dass dies eher aus praktischen Gründen geschah, als in Anlehnung an seinen Namen. Die Buchstaben a, b, c und d waren und sind in der Mathematik häufig benutzt, weshalb e eine gute Wahl für die Eulersche Zahl ist.

Weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl

e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}

Eine eher unübliche aber bemerkenswerte Darstellung der Eulerschen Zahl ist zum Beispiel die Catalansche Darstellung

e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots

Dem Schweizer Felix A. Keller verdanken wir folgende Darstellung ("Keller's Expression" 1975)

$e=\lim _{n\to \infty }\left({\rm {}}{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}-{\frac {(n-1)^{n-1}}{(n-2)^{n-2}}}\right)$

Für jede komplexe Zahl z gilt:
$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}$
Siehe auch den Artikel Exponentialfunktion.

Die Kettenbruchentwicklung von e weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins unendliche fortsetzt: $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\dots ]$

Die Eulersche Zahl läßt sich auch als Quotient der Division von n! durch !n berechnen, wobei e je genauer wird, je größer n ist:

e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}}

Die ersten 200 Nachkommastellen von e

Gerundet auf 200 Nachkommastellen (abgerundet) beträgt der Wert der Eulerschen Zahl:

$e-10^{-200}$ < 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 382 178 525 166 427 427 466 391 932 003 059 921 817 413 596 629 043 572 900 334 295 260 595 630 738 132 328 627 943 490 763 233 829 880 753 195 251 019 01 < $e$

Anschauliche Interpretationen der Eulerschen Zahl

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen K_n = K₀ * (1+p)ⁿ, wobei K₀ das Startkapital, p der Zinssatz, und n die Anzahl der Verzinsungen sind.

In unseren Beispiel sind K₀ = 1 EUR, p = 100% = 1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder p = 100% / n = 1/n, wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre K₁ = 1*(1+1)¹ EUR = 2,00 EUR. Bei halbjährlichem Zuschlag hat man p = 1/2, also K₂ = 1*(1+0,5)² EUR = 2,25 EUR, also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung (p=1/365) erhalten wir K₃₆₅= 1*(1+1/365)³⁶⁵ = 2,714567... EUR. Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene 1. Formel für e.

Unerwarteterweise ist e auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Angenommen, ein Bäcker gibt für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig und knetet gut durch. Nachher enthält jedes e-te Brötchen keine Rosine, vorausgesetzt, es werden genügend viele Brötchen gebacken. Die Wahrscheinlichkeit p, dass alle n Rosinen in anderen Brötchen sind, ergibt für unendlich viele Brötchen: $p=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}$

Siehe auch

Weblinks