Greensche Funktion

Die Greensche Funktion (nach George Green) ist ein Hilfsmittel bei der Lösung linearer Differentialgleichungen.

Motivation

Gewöhnlich findet man die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung

$Ly(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )$,

indem man die homogene Differentialgleichung

$Ly(\mathbf {x} )=0$

allgemein löst und zu dieser homogenen Lösung eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung addiert

$y=y_{h}+y_{p}$,

denn es gilt

$Ly=Ly_{h}+Ly_{p}=0+f=f$.

Leider ist das Auffinden von partikulären Lösungen, gerade bei partiellen Differentialgleichungen, nicht immer einfach.

Kennt man jedoch die Greensche Funktion $G_{L}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')$ eines linearen Differentialoperators $L$, so kann man eine partikuläre Lösung $y_{p}$ der inhomogenen Differentialgleichung in der Form

$y_{p}(\mathbf {x} )=\int _{\Omega }G_{L}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')f(\mathbf {x} ')\,d\mathbf {x} '$

angeben, wobei über ein Gebiet $\Omega$ integriert wird.

Eine Greensche Funktion erfüllt nämlich folgende Bedingung:

$L\,G_{L}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$,

wobei $\delta$ die Diracsche Deltafunktion, genauer die Deltadistribution, ist. Damit gilt, da $L$ auf den Vektor $\mathbf {x}$ wirkt

$Ly_{p}(\mathbf {x} )=L\int _{\Omega }G_{L}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')f(\mathbf {x} ')\,d\mathbf {x} '=\int _{\Omega }LG_{L}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')f(\mathbf {x} ')\,d\mathbf {x} '=\int _{\Omega }\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')f(\mathbf {x} ')\,d\mathbf {x} '=f(\mathbf {x} )$,

d.h. $y_{p}$ ist in der Tat eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Anschaulich beinhaltet die Greensche Funktion $G_{L}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')$, wieviel die Inhomogenität $f$ am Ort $\mathbf {x} '$ zur Lösung $y_{p}$ am Ort $\mathbf {x}$ beiträgt.

In der Quantenelektrodynamik kennt man die Greensche Funktion als Propagator, die Inhomogenität ist die Ursache einer Wechselwirkung und die Greensche Funktion beschreibt den Beitrag der Wechselwirkung zwischen den Punkten $\mathbf {x}$ und $\mathbf {x} '$, z.B. wenn elektrische Ladungen Photonen emittieren und absorbieren.

Greensche Funktion mit Randbedingung

Kennt man bereits einen Operator, der die homogene Differenzialgleichung lößt, lassen sich über die Methode der Bildladungen auch Randbedingungen berücksichtigen, indem man sich neben den realen Ladungen auch Bildladungen vorstellt, die Randbedingung erfüllen. Er reicht man man sich vorläufig auf $\mathbf {\phi } |_{R}=0$ beschränkt. Allgemeinere Randbedingungen werden über die gleiche Green'sche Funktion ausgedrückt.

$Ly\mathbf {\phi } =\rho {\vec {r}}$ $\mathbf {\phi } |_{R}=0$

Als Lösung ergibt sich dann:

$\mathbf {\phi } ({\vec {r}})=\int _{V}{\rho ({\vec {r'}})G({\vec {r}},{\vec {r'}})dV'}-\oint _{\partial {V}}{\phi ({\vec {r'}}){\frac {\partial G({\vec {r}},{\vec {r'}})}{\partial {\vec {n}}'}}d{\vec {F'}}}$

Ebenso ist die Problematik der Randbedingungen unterschlagen worden, die auch in die Wahl der Greenschen Funktion zu einem Operator eingehen. 

Beispiele

Bestimmung des statischen elektrischen Feldes

Nach Maxwell gilt für die Quellstärke des zeitlich unveränderlichen elektrischen Feldes

$\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {x} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho (\mathbf {x} )$,

wobei $\mathbf {E}$ die elektrische Feldstärke und $\rho$ die elektrische Ladungsdichte. Handelt es sich um ein konservatives Feld, dann gilt

$\mathbf {E} =-\operatorname {grad} \,\varphi$,

wobei $\varphi$ das elektrische Potential ist. Einsetzen liefert die Poisson-Gleichung

$\Delta \varphi =-{\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho (\mathbf {x} )$,

also eine inhomogene lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung. Kennt man eine Greensche Funktion des Laplace Operator $\Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad}$, so lautet eine partikuläre Lösung

$\varphi _{p}(\mathbf {x} )=-\int _{\Omega }G_{\Delta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho (\mathbf {x} ')d\mathbf {x} '$

Die Greensche Funktion des Laplace Operators ist

$G_{\Delta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{||\mathbf {x} -\mathbf {x} '||}}$,

womit sich nach Einsetzen

$\varphi _{p}(\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho (\mathbf {x} ')}{||\mathbf {x} -\mathbf {x} '||}}d\mathbf {x} '$

ergibt, also das Coulombgesetz!

Bemerkungen

Die obige Präsentation ist nicht von mathematischer Strenge, z.B. darf man sicher nicht immer Integral- und Differentialoperator vertauschen.D.h. es ist auf der Ebene eines Kalküls argumentiert worden. Das Kalkül der Dirac-Distribution ist jedoch einfach zu merken und dürfte in vielen Fällen auf die richtige Fährte führen, deswegen sind Physiker und Ingenieure ganz zufrieden damit. Wenn man es richtig verstehen will, z.B. was eine Lösung im schwachen Sinn ist, muss man die Distributionstheorie erlernen.

Weblinks

"Punktquelle und Greensche Funktion" aus dem Vorlesungsskript von Wolfgang Friederich