Jordansche Normalform

Eine quadratische Matrix A, deren Charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, läßt sich durch eine Ähnlichkeitstransformation auf folgende Blockdiagonalform bringen, die als Jordansche Normalform (nach Marie Ennemond Camille Jordan) bezeichnet wird:

$J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots {}&\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}=Q^{-1}AQ$

Die Matrix Q ist die Matrix der Eigenvektoren und Hauptvektoren, d.h. die Eigenvektoren und dazugehörige Hauptvektoren werden spaltenweise als Matrix geschrieben, $Q^{-1}$ ist die inverse Matrix von Q, sie wird berechnet über die erweiterte Matrix und dem Gaußschen Eliminationsverfahren.

Die J_i sind die Jordan-Blöcke. Diese haben folgende Form:

$J_{i}={\begin{pmatrix}\lambda _{i}&1&0&...&0\\0&\lambda _{i}&1&...&0\\&&...\\&&...&\lambda _{i}&1\\0&...&&0&\lambda _{i}\end{pmatrix}}$

Die λ_i sind dabei die Eigenwerte von A. Zu jedem Eigenwert λ_i gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordan-Blöcke. (Die geometrische Vielfachheit ist dabei bestimmt durch die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem(!) Eigenwert λ.) Die Gesamtdimension aller Jordan-Blöcke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit, d.h. seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom.

Zur Form von Q

Seinen ${\vec {e}}_{i}$ die Eigenvektoren zu den Jordankästchen $J_{i}$ (Jedem Jordankästchen entspricht genau ein Eigenvektor) und ${\vec {h}}_{i,2}\dots {}{\vec {h}}_{i,l}\dots {}{\vec {h}}_{i,n_{j}}$ die Hauptvektoren der jeweils l-ten Stufe. (Wobei $n_{j}$ die Dimension des j-ten Jordankästchen)

Die Matrix Q hat dann die Form:

$Q={\vec {e}}_{1},{\vec {h}}_{1,2},\dots {},{\vec {h}}_{1,n_{1}},\dots {},{\vec {e}}_{k},{\vec {h}}_{k,2},\dots {},{\vec {h}}_{k,n_{k}}$

wobei k die Anzahl der Jordankästchen war.

In Worten die Spalten von Q sind die Eigenvektoren mit den dazugehörigen Hauptvektoren in der Reihenfolge der dazugehörigen Jordankästchen.

reelle Jordanform

Betrachtet man Matrizen über $\mathbb {R}$ so kann es passieren, dass das [charakteristische Polynom] nicht in Linearfaktoren zerfällt. (also komlexe Eigenwerte besitzt) Da man in diesem Fall die normale Jordansche Normalform nicht verwenden kann (Sie hätte Einträge aus $\mathbb {C}$) führt man die reelle Jordanform ein.

Sei $\lambda _{j}=a_{j}+b_{j}i$ Eigenwert dann ist auch

${\bar {\lambda }}_{j}=a_{j}-b_{j}i$ Eigenwert

wobei $i^{2}=-1$

Die J_i Jordan-Blöcke haben jetzt folgende Form:

$J_{j}={\begin{pmatrix}a_{j}&b_{j}&1&&&&&0\\-b_{j}&a_{j}&0&1&&&&\\&&a_{j}&b_{j}&1&&&\\&&-b_{j}&a_{j}&0&1&&\\&&&\ddots {}&\ddots {}&\ddots {}&\ddots {}&\\&&&&\ddots {}&\ddots {}&0&1\\&&&&&\ddots {}&a_{j}&b_{j}\\0&&&&&&-b_{j}&a_{j}\\\end{pmatrix}}$

für die Matrix J gilt immer noch:

$J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots {}&\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}=Q^{-1}AQ$

Systeme linearer Differentialgleichungen

Die JNF ist eng verknüpft mit linearen Differentialgleichungen y'(x)=Ay(y) in einer Dimension n, d.h. A ist eine n×n-Matrix mit konstanten reellen oder komplexen Komponenten. Diese hat die formale Lösung durch Potenzreihenansatz

$y(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}x^{k}}{k!}}y_{0}=y_{0}+x\cdot Ay_{0}+{\frac {x^{2}}{2}}\cdot A^{2}y_{0}+\dots$

mit Anfangswert y(0)=y₀.

Gilt nun für irgendeinen Exponenten m $A^{m}y_{0}=0$, so bricht die Potenzreihe ab, das System hat eine polynomiale Lösung vom Grad kleiner m. Man kann jetzt die Kerne der Matrixpotenzen bestimmen, für diese gilt $\ker A\subset \ker A^{2}\subset \dots \subset \ker A^{n}$. Bestimmt man nun eine zu dieser Schachtelfolge von Unterräumen angepasste Basis von $\ker A^{n}$, so erhält man die Jordan-Blöcke zum Eigenwert λ=0. Ist zum Beispiel A^m+1v=0, aber A^mv von Null verschieden, so sind $v,Av,\dots ,A^{m}v$ linear unabhängig und der Schachtelfolge angepasst.

Für den allgemeinen Fall macht man den Ansatz $y(x)=\exp(\lambda x)u(x)$, es ergibt sich für u die Differentialgleichung $u'=(A-\lambda I)u$. Damit der maximale Kern $\ker(A-\lambda I)^{n}$ nichttrivial ist, muss λ Eigenwert, d.h. Nullstelle des charakteristischen Polynoms det(A-λI), von A sein. Die Kerne unterschiedlicher Eigenwerte sind transversal zueinander, so dass eine gemeinsame, den jeweiligen Kernen angepasste Basis des gesamten n-dimansionalen Raumes gefunden werden kann. Für jedes Basiselement ergibt sich eine Lösung $y(x)=exp(\lambda x)u(x)$ mit polynomialem u, und jede Lösung kann aus diesen zusammengesetzt werden (Superpositionsprinzip). Nach geeignetem Sortieren der angepassten Basis und Transformation von A in diese Basis ergibt sich die Jordan-Normalform.

Siehe auch: Diagonalmatrix