Die Eisenstein-Zahlen sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Die Gauß'schen Zahlen sind eine andere Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.
Definition
Eine Zahl ist eine Eisenstein'sche Zahl, wenn
wobei und ganze Zahlen sind und eine dritte Wurzel aus 1 ist.
Eigenschaften und Bedeutung
Die Eisenstein-Zahlen bilden ein Dreiecksgitter in der Gauß'schen Zahlenebene. Sie entsprechen den Mittelpunkten einer dichtesten Kugelpackung in zwei Dimensionen.
Auf den Eisenstein-Zahlen läßt sich Zahlentheorie betreiben. Man kann Primzahlen definieren und zeigen, daß die Primfaktordarstellung einer Eisenstein-Zahl eindeutig ist. Ganze Zahlen der Form sind in den Eisenstein-Zahlen immer zerlegbar. Daher sind die Zahlen 3, 7, 13, 19, ... keine Primzahlen in den Eisenstein-Zahlen.
