Modulform

Modulformen sind eine Klasse komplexer Funktionen, die in den mathematischen Teilgebieten der Funktionentheorie und Zahlentheorie betrachtet werden.

Definition (für die volle Modulgruppe)

Es sei

$\mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,\tau >0\}$

die obere Halbebene.

Für eine ganze Zahl $k$ heißt eine meromorphe Funktion $f$ auf der oberen Halbebene eine Modulform vom Gewicht $k$, wenn sie

• die Funktionalgleichung

$f\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$ für alle $z\in \mathbb {H}$ und $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ mit $ad-bc=1$

erfüllt und

• "meromorph im Unendlichen" ist: Das bedeutet, dass die Funktion

${\tilde {f}}(q)=f(z)$ mit $q=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} z}$ für $0<|q|<1$

bei $q=0$ meromorph auf die Einheitskreisscheibe fortsetzbar ist.

Man beachte, dass aus der ersten Bedingung $f(z+1)=f(z)$ folgt; deshalb ist ${\tilde {f}}(q)$ wohldefiniert.