Impulsinvarianz-Transformation

Die Impulsinvarianz-Transformation (Impulsinvariante-Transformation, IIR) ist ein mathematisches Verfahren (eine systemantwortinvariante Transformationen) und dient zur Synthese zeitdiskreter, hauptsächlich digitaler Filter.

Erläterung

Hierfür wird die Impulsantwort eines analogen Filter $g_{a}(t)$ durch äquidistante Abtastung in die zeitdiskrete Impulsantwort $g(k)$ mit $g(k)=g_{a}(kT)$ überführt. Die Impulsantwort des zeitdiskreten Filters stimmt somit an den Abtastzeitpunkten $kT$ mit der Impulsantwort des analogen Filter überein.

Ebenso wie die Laplace-Transformation die Impulsantwort $g_{a}(t)$ in den Frequenzbereich transformiert, die sich dann als $G_{a}(s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {A_{n}}{s-p_{n}}}$ mit $N<\infty$ darstellt, kann die zeitdiskrete Impulsantwort $g(k)$ mit Hilfe der Z-Transformation in den Frequenzbereich erhoben werden. Es ergibt sich abschließend: $G(z)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {A_{n}}{1-e^{p_{n}T}z^{-1}}}$

Der Zusammenhang ist somit offensichtlich:

${\frac {A_{n}}{s-p_{n}}}\rightarrow \ {\frac {A_{n}}{1-e^{p_{n}T}z^{-1}}}$

Hierdurch kann also eine zeitdiskretes Filter entworfen werden, welches an den Abtastzeitpunkten $kT$ die gleiche Impulsantwort hat, wie ein entsprechendes analoges Filter. Dies macht sich bei geeignet hoher Abtastung im Frequenzbereich kaum bemerkbar. Das zeitdiskrete Filter approximiert somit den Frequenzgang des analogen Filter.

Literatur

• Hermann Götz, Einführung in die digitale Signalverarbeitung, ISBN:3519201178
• Alan V. Oppenheim und Ronald W. Schafer von Oldenbourg, Zeitdiskrete Signalverarbeitung, ISBN:3486241451