Inkommensurabilität (Mathematik)

In der Mathematik und der Physik heißen zwei Größen a und b kommensurabel (lat. zusammen messbar), wenn sie ganzzahlige Vielfache einer dritten Größe c sind. Diese Bezeichnung kommt daher, dass man diese Größen mit einem gemeinsamen Maß c messen kann, indem man sie als ganze Vielfache von c darstellt. Sind zwei Größen nicht kommensurabel, dann sind sie inkommensurabel.

Aus der Kommensurabilität zweier Größen a und b, die so notiert werden kann:

$a=mc,\ b=nc,\quad m,n\in \mathbb {Z}$

folgt, dass ihr Verhältnis eine rationale Zahl ist:

${\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}}=x,\quad x\in \mathbb {Q}$

Sind zwei Größen dagegen inkommensurabel, dann ist ihr Verhältnis eine irrationale Zahl.

Beispiele

Kommensurabel sind 2 Zahlen, die mindestens einen ganzzahligen gemeinsamen Nenner haben.
Inkommensurabel sind somit 2 Zahlen die keinen ganzzahligen gemeinsamen Nenner haben.

1. Bruch-Rechnung. 15 und 21 sind kommensurabel - der gemeinsame Nenner ist 3.
2. Satz des Pythagoras. Beträgt die Länge der beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks 1, so ist die Länge der Hypotenuse √2 (die Quadratwurzel von 2). Das Verhältnis einer der Seiten zur Hypotenuse beträgt somit 1/√2 und die Seitenlängen sind inkommensurabel.

   Datei:Goldener Schnitt Pentagramm.png

   Fünfstern

3. Fünfstern. Das Verhältnis zwischen inneren (BC) und äußeren (AB) Strecken beim Fünfstern (Pentagramm, siehe auch Abbildung unter Goldener Schnitt). Schon um 450 v. Chr. fand der Pythagoreer Hippasos diesen Beweis, dass es keinen gemeinsamen Teiler gibt und die Längen der Seite und Diagonale im Pentagramm inkommensurabel sind.