Feldlinie

Feldlinien oder Kraftlinien sind gedachte oder gezeichnete Linien (i.a. gekrümmt), die die Richtung der von einem Feld auf einen Testkörper ausgeübten Kraft veranschaulichen. Die an eine Feldlinie gelegte Tangente gibt die Kraftrichtung im jeweiligen Berührungspunkt an.

Vereinbarung: Die Feldlinien zeigen *weg* von der Plusladung (rot) und hin zur Minusladung (grün). Die Länge der Pfeile ist ein Maß für die elektrische Feldstärke an ausgewählten Punkten. Man könnte auch an jedem anderen Punkt einen Pfeil einzeichnen, dann wird das Bild aber überladen.

Beispielsweise sind die Feldlinien eines Gravitationsfeldes jene Linien, die in Richtung der Schwerkraft verlaufen. Auf der Erde - im Erdschwerefeld - sind diese Kraftlinien praktisch Geraden, die Lotlinien oder Vertikalen, die man durch ein Schnurlot sichtbar machen kann. Auch bei den magnetischen Feldlinien eines kleinen Magneten ist die Visualisierung möglich - durch den oft gezeigten Versuch mit Eisenfeilspänen (siehe Bild).

Eigenschaften

Die Feldliniendichte (Anzahl der Linien pro Flächeneinheit) ist proportional zur Feldstärke.
Feldlinien schneiden einander niemals.
Feldlinien von Quellenfeldern (etwa Felder von elektrischen Ladungen, oder Gravitationsfelder) gehen von einem Punkt aus und/oder enden in einem Punkt.
Feldlinien von Wirbelfeldern (etwa Magnetfelder oder elektrische Felder, die durch sich ändernde Magnetfelder induziert werden) haben keinen Anfang und kein Ende, sondern sind geschlossene Linien.
Der Verlauf der Linien kann durch folgende Regel anschaulich erklärt werden: Feldlinien wollen immer möglichst kurz sein, stoßen sich aber gegenseitig ab.

Richtung (Orientierung) von Feldlinien

Beim Magnetfeld ist die Orientierung der Feldlinien durch die Richtung definiert, in die der Nordpol einer Kompassnadel zeigt. In der Umgebung eines Permanentmagneten verlaufen die Feldlinien daher vom Nord- zum Südpol. Die Pole von Permanentmagneten werden farblich gekennzeichnet, der Nordpol rot und der Südpol grün. Als Eselsbrücke hierfür kann man sich merken, dass man "rot" mit "o" wie "Nord" und „grün“ mit „ü“ wie „Süd“ schreibt.
Beim elektrischen Feld zeigen die Feldlinien die Richtung der Kraft, die auf eine positive Probeladung wirkt. In einem elektrostatischen (von Ladungen ausgehenden) Feld verlaufen sie also von der positiven zur negativen Ladung.

Begründung der Darstellung

Unterschiedliche Darstellungsmöglichkeiten des Feldes um eine geladene Kugel

Eine geladene Kugel erzeugt eine Kraftwirkung auf andere geladene Teilchen in der Umgebung, die um so geringer wird, je weiter die Teilchen von der Kugel entfernt sind. Will man sich nicht auf eine rein mathematische Darstellung mit Formeln zurückziehen, muss man eine geeignete graphische Darstellung erfinden. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten mit Vor- und Nachteilen:

Im linken Bild ist das schwächer werdende Feld durch geringere Farbsättigung dargestellt. Das besitzt den großen Vorteil, dass Fragen wie „Gibt es auch eine Kraft zwischen den Kraftlinien?“ erst gar nicht gestellt werden, weil die Fläche lückenlos bedeckt ist. Der Nachteil dieser Darstellung ist, dass es nicht einfach ist, die Richtung der Kraft – das ist die Richtung der stärksten Änderung der Farbsättigung – nur ungenau entnehmbar ist. Will man wissen, wo die Kraftrichtung genau horizontal verläuft, ist man auf Raten angewiesen. Tiefergehende Fragen, etwa ob das Feld radialsymmetrisch (wie im mittleren Bild) oder doch eher mit Linksdrall wie im rechten Bild gestaltet ist, kann man mit der Färbungsmethode überhaupt nicht beantworten.
Diese Feinheiten lassen sich in den anderen Bildern problemlos darstellen, allerdings mit dem Nachteil, dass oft Fragen gestellt werden wie „Gibt es nur diese Feldlinien oder liegen noch mehr davon dazwischen?“ oder „Gibt es weiter außen mehr Stellen ohne Feldlinien?“ oder „Spürt ein geladenes Teilchen auf einer tangentialen Bahn abwechselnd viel und weniger viel Kraft, wenn es die Feldlinien überquert?“
Die Frage, ob eine für eine geladene Kugel die mittlere oder doch die rechte Darstellung zutrifft, lässt sich nur experimentell beantworten, bei der linken Darstellung stellt sich diese Frage überhaupt nicht.
Wird eine positives Teilchen von einer positiv geladenen Kugel angezogen oder abgestoßen? Wie kann man das zeichnerisch darstellen? Offenbar überhaupt nicht, wenn sich nur die Farbsättigung ändert. Die beiden anderen Darstellungen ermöglichen eine Unterscheidung durch Pfeilspitzen: Diese zeigen weg von einer positiven Ladung und hin zu einer negativen Ladung.

Jede graphische Darstellung hat Vor- und Nachteile, keine ist perfekt. Man hat sich für die Liniendarstellung entschieden, auch weil sie gewise Vorteile im Zusammenhang mit der graphischen Lösung von Differentialgleichungen bietet (Richtungsfeld). Ein wichtiger Grund war auch, dass die Liniendarstellung drucktechnisch erheblich einfacher und besser reproduzierbar ist als feine Helligkeitsabstufungen.

Theoretischer Hintergrund

Der Begriff Feldlinie gehört zu Potentialfeldern der Physik und Geophysik. Die Feldlinie bezeichnet die Richtung des Gradienten eines Potentials.

Der Begriff ist nur in Feldern sinnvoll, in denen eine Richtung ausgezeichnet ist, also Feldern vektorwertiger Größen, so etwa Kraftfeldern, elektrischen und magnetischen Feldern, Strömungsfeldern. In Feldern skalarwertiger Größen, so auch den Potentialfeldern selbst, ist keine Richtung ausgezeichnet, so dass auch keine Feldlinien denkbar sind. Feldlinien gibt es dagegen im Feld des Gradienten eines skalaren Feldes, also der Richtung der stärksten Änderung.

Formal charakterisiert man z. B. im elektrischen Feld die Feldlinien im Punkt ${\vec {r}}$ durch die Gleichung

$d{\vec {s}}\times {\vec {E}}({\vec {r}})=0$

Dieser Gleichung genügen wegen der Definition des Kreuzprodukts alle Vektoren, die parallel zu den Feldlinien in diesem Punkt sind. Im zweidimensionalen Fall ( $dz=E_{z}=0$ ) reduziert sich diese Gleichung auf

$dyE_{x}-dxE_{y}=0\Longleftrightarrow {\frac {dy}{dx}}={\frac {E_{y}}{E_{x}}}$

Siehe auch