Zahlenmenge

Ein Zahlenbereich ist eine genau definierte Menge von Zahlen. Sie unterscheiden sich in der Art der mathematischen Operationen, die man in diesen Mengen uneingeschränkt durchführen kann.

Übliche Zahlenmengen

Natürliche Zahlen

Symbol: $\mathbb {N}$

Natürliche Zahlen sind aus dem Grundbedürfnis der Menschen erwachsen, Dinge zu zählen, d. h. die Anzahl von Elementen zu bestimmen. Unter ihnen versteht man die Menge aller positiven ganzen Zahlen. Zuweilen wird ihnen auch noch die neutrale Zahl 0 zugerechnet, manche Lehrbücher notieren diesen Zahlbereich dann als N₀. Addition und Multiplikation sind uneingeschränkt möglich.

Beispiel: 3 + 4 = 7, aber 3 - 4 gibt kein Ergebnis in $\mathbb {N}$ .

Die Menge umfasst die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 usw.

Ganze Zahlen

Symbol: $\mathbb {Z}$ , Merkspruch: "Zahlen aus Z sind zanze Zahlen"

Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um negative ganze Zahlen. Mit ihnen ist es möglich, uneingeschränkt zu subtrahieren.

Beispiel: 3 - 4 = -1

Die Menge umfasst die Zahlen ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...

Rationale Zahlen

Symbol: $\mathbb {Q}$

Die rationalen Zahlen umfassen die Menge aller Bruchzahlen. Eine Bruchzahl ist der Quotient zweier ganzer Zahlen, wobei die Einschränkung gilt, dass der Divisor (=Nenner) nicht 0 sein darf. Mit der Erweiterung auf die rationalen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten inklusive der Division ausführbar.

Beispiele: ${1 \over 3}$ , ${7 \over 13}$ , 1,8

Reelle Zahlen

Symbol: $\mathbb {R}$

Die reellen Zahlen bilden eine Synthese aus den rationalen Zahlen und den so genannten irrationalen Zahlen - unendliche, nicht periodische und demzufolge nicht als Bruch darstellbare Zahlen. Das Ziehen der Wurzel bei positivem Radikand kann nun eindeutig durchgeführt werden.

Beispiele: ${\sqrt[{}]{2}},{\sqrt[{3}]{17}}$ , π, e

Komplexe Zahlen

Symbol: $\mathbb {C}$

Trotz der Erweiterung auf die reellen Zahlen ist es noch nicht möglich, alle Gleichungen zu lösen. So lässt sich die Gleichung x² = -1 nach wie vor nicht lösen, da das Quadrat reeller Zahlen stets Null oder positiv ist. Um diesem Problem entgegenzuwirken, war eine neuerliche Erweiterung des Zahlenbereichs auf die komplexen Zahlen notwendig. Deren Grundlage ist die Einführung einer imaginären Zahl i, deren Quadrat -1 ergibt (i² = -1). Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginären Teil. Um komplexe Zahlen zu multiplizieren benutzt man oft die Gauss'sche Ebene und die Polarform.

Beispiele: 15 + 3i (in Polarform $5.83\cdot (\cos 30.96+\mathrm {i} \cdot \sin 30.96)$ oder kurz 5.83 cis 30.96°), 4 - 5i

Hyperkomplexe Zahlen

Das Konstruktionsverfahren zur Erzeugung der komplexen Zahlen kann verallgemeinert werden und liefert u.a. die folgenden Zahlbereiche.

Quaternionen oder Hamilton-Zahlen

Symbol: $\mathbb {H}$

Diese Zahlen, die durch die Elemente des Quaternionenrings dargestellt werden, sind die Erweiterung der komplexen Zahlen. Sie bilden in ihrer algebraischen Struktur nur einen Schiefkörper, da sie nicht kommutativ sind. Ihre Darstellung erfolgt in Form von drei Imaginärteilen.

Beispiele: 5 + 3i + 9j + 4k, -8 + 6i - 3j + 9k

Oktaven oder Cayley-Zahlen

Symbol: $\mathbb {O}$

Die Oktaven stellen eine achtdimensionale Erweiterung der reellen Zahlen (ein zweidimensionales Element des Quaternionenrings) dar. Sie sind nicht immer assoziativ (alternatives System), aber der höchstdimensionale Zahlenbereich, in dem reelle Algebra (gekennzeichnet durch eindeutig ausführbare Division) möglich ist, sie bilden eine Divisionsalgebra.

Beispiele: 7 + 8i + 3j - 12k + 4E - 8I - 9J + 12K

Die Tatsache, dass sich jeder umfassendere Zahlenbereich aus einem "kleineren" konstruieren lässt, bzw. dass er Teilmengen enthält, die zu "kleineren" Zahlenbereichen isomorph sind, fasst man mit folgender Inklusionskette zusammen: $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O}$

Da $\mathbb {R}$ , $\mathbb {C}$ , $\mathbb {H}$ , $\mathbb {O}$ die einzigen normierten Divisionsalgebren sind, werden sie ebenfalls als Zahlen bezeichnet, obschon etwa bei $\mathbb {O}$ nicht einmal mehr die Assoziativität gilt.

Hyperrationale Zahlen

Die Konstruktionsverfahren zur Erzeugung der reellen Zahlen können verallgemeinert werden und liefern u.a.:

p-adische Zahlen	Q_p
Hyperreelle Zahlen	*R
Surreale Zahlen	Sω

Sonstige Teilmengen der Zahlbereiche

Bezeichnung	Symbol	Definition
Natürliche Zahlen ab k	N_k	{k, k+1, k+2, ...}
Natürliche Zahlen zwischen u und o	N_u^o	{u, u+1, u+2, ..., o}
Gerade Zahlen	G	{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
Positive gerade Zahlen	G₊	{2, 4, ...}
Negative gerade Zahlen	G_-	{..., -4, -2}
Ungerade Zahlen	U	{..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}
Positive ungerade Zahlen	U₊	{1, 3, 5, ...}
Negative ungerade Zahlen	U_-	{..., -5, -3, -1}
Primzahlen	P	{2, 3, 5, 7, 11, ...}

Weitere algebraische Strukturen, die manchmal Zahlen genannt werden

Sedenionen	$\mathbb {S}$
Restklassenkörper	Z/pZ, p Primzahl