Lévy-Verteilung

ùDie Familie der Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy (1886-1971)) mit Parametern $\gamma >0,\delta$ ist definiert durch die Dichte

$f(x)={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}{\frac {1}{(x-\delta )^{3/2}}}\exp \left(-{\frac {\gamma }{2(x-\delta )}}\right),\,\,x>\delta$.

Die Verteilung, die entsteht, wenn als Parameter $\gamma =1$ und $\delta =0$ gewählt werden, wird auch als Standard-Lévy-Vertelung bezeichnet.

Eigenschaften

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d.h. sie erfüllt die Bedingung

$X_{1}+X_{2}\ldots +X_{n}\sim n^{1/\alpha }X$,

Wobei $X_{1},X_{2},\ldots X_{n},X$ unabhängige Standard-Lévy-Variablen sind (hier ist $\alpha =1/2$). Da die Theorie der alpha-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentichen Lévy-Verteilung.

Momente

Datei:Levyverteilung.png

Dichten von einigen Lévy-verteilten Zufallsgrößen

Die Lévy-Verteilung besitzt weder endlichen Erwartungswert noch endliche Varianz, denn $E(|X|)=\infty$. Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den sogenannten Heavy-tailed distributions, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z.B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Weblinks

Z. Bazant, Lecture Notes for Spring 2003