Das Wort Gruppoid wird in der Mathematik in verschiedenen Bedeutungen gebraucht. Es ist ein Kunstwort, das von "Gruppe" stammt und "gruppenähnliche mathematische Struktur" bedeutet. Ein Gruppoid ist stets eine Verallgemeinerung des Begriffes der Gruppe.
Eine verbreitete Bedeutung von Gruppoid ist eine algebraische Struktur, die aus einer Trägermenge und einer zweistelligen Verknüpfung besteht. Diese wird heute, nach dem von Bourbaki eingeführten Begriff, Magma genannt.
Dieser Artikel handelt von einer anderen verbreiteten Bedeutung: Einer Kategorie, in der alle Pfeile Isomorphismen sind.
Definition
Ein Gruppoid ist eine Kategorie, in der jeder Pfeil ein Isomorphismus ist.
Anwendung und Beispiele
- In der algebraischen Topologie gibt es das Fundamentalgruppoid. Gehen wir von einem topologischen Raum X aus. Die Objekte des Gruppoids sind die Punkte. Die Pfeile sind die Bilder von stetigen Abbildung , wobei der Anfangspunkt die Quelle ist und der Endpunkt das Ziel. Siehe hierzu auch den Artikel Fundamentalgruppe.
![{\displaystyle f:[0,1]\longrightarrow X}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/903478d9804e94c5aaa605152a940818d9a6ac9a)
- In der Loopquantengravitation finden Gruppoide bei der Beschreibung der Spin-Netz-Werke Anwendung.
- Jede Gruppe ist ein Gruppoid mit einem Objekt und den Gruppenelementen als Pfeilen.
- Betrachten wir eine beliebige Kategorie und entfernen alle Pfeile, die keine Isomorphismen sind, erhalten wir ein Gruppoid.