Geosynchrone Umlaufbahn
Die Umlaufbahn eines Satelliten heißt geosynchron, wenn seine Umlaufzeit um die Erde exakt der Rotationsdauer der Erde um ihre eigene Achse (23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = 1 siderischer Tag) entspricht.
Geosynchrone Umlaufbahnen können stark elliptisch sein und müssen nicht parallel zum Äquator verlaufen.
Der Spezialfall einer geosychronen Umlaufbahn, die keine Exzentrizität hat, also kreisförmig ist, und genau parallel über dem Äquator verläuft, heißt geostationär. Ihre Höhe über dem Äquator beträgt 35.786 Kilometer, die Bahngeschwindigkeit 3.074,689 Meter pro Sekunde.
Von der Erde aus betrachtet scheint ein geostationärer Satellit am Himmel still zu stehen, da sich der Beobachter auf der Erde mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit bewegt wie der Satellit. Deswegen wird diese Umlaufbahn häufig für Fernseh- und Kommunikationssatelliten verwendet, da die Antennen auf dem Boden fest auf einen bestimmten Punkt ausgerichtet werden können.
Formeln
Um einen Körper der Masse m mit der Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn mit dem Radius r zu halten, ist eine Zentripetalkraft (zum Mittelpunkt gerichtete Kraft) der Stärke
erforderlich. Auf der geostationären Kreisbahn ist das die Erdanziehungskraft, die im Abstand r die Stärke
hat (G ist die Gravitationskonstante).
Die Umlaufbahn ist nur dann stabil, wenn die beiden Kräfte gleich sind, es muss also gelten
Auflösen nach r ergibt
![{\displaystyle r={\sqrt[{3}]{G{\frac {M}{\omega ^{2}}}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c785540b85e490d5f41a232cd512464c74565578)
Die Kreisfrequenz ω ergibt sich aus der Umdrehungsdauer t als
Einsetzen in die Formel für r ergibt
![{\displaystyle r={\sqrt[{3}]{{\frac {G}{4\pi ^{2}}}Mt^{2}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a09bbe750b22eef35eab61753d2efe4116b33e)
Berechnung
Aus
ergibt sich
Die Formel lautet also
![{\displaystyle r={\sqrt[{3}]{1{,}691\cdot 10^{-12}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \quad Mt^{2}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b275f63b1fc8d9cc257ae83802435b975ca6d0)
oder
![{\displaystyle r=1{,}191\cdot 10^{-4}\ {\sqrt[{3}]{1\ \mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \quad Mt^{2}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb39cdea3b7a2be56fdc2631eaf44a986cd61839)
Für die Erde mit der Erdmasse M = 5,9736 · 1024 kg und der Rotationsdauer 23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = (23 * 60 + 56) * 60 + 4,09 Sekunden = 86164,09 Sekunden gilt:
![{\displaystyle r=1{,}191\cdot 10^{-4}\ {\sqrt[{3}]{1\ \mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \quad 5{,}9736\cdot 10^{24}\ \mathrm {kg} \ (86164,09\ \mathrm {s} )^{2}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d67fbd1f09585e787019103bee89a3993e2741)
