Zahlentheoretische Funktion

Vorlage:Mathematische Symbole Ganz allgemein ist eine zahlentheoretische Funktion eine Funktion von N nach C. In der Regel interessiert man sich aber nur für solche Funktionen, die eine gewisse Bedeutung für die Zahlentheorie haben.

Die zahlentheoretischen Funktionen bilden mit der komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum über C. Bezüglich der komponentenweisen Addition und der Faltung (siehe unten) bilden die zahlentheoretischen Funktionen einen Integritätsring.

Beispiele

• Die Teileranzahlfunktion $\tau (n):=\sum _{d|n}1$, die die Anzahl aller Teiler einer Zahl angibt.
• Die Teilersummenfunktion $\sigma (n):=\sum _{d|n}d$, die die Summe aller Teiler einer Zahl angibt.
• Die Eulersche φ-Funktion $\phi (n):=\#\{d\in \{1,\dots ,n\}:{\mbox{ggT}}(d,n)=1\}$, die die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen angibt.
• Die Primzahlfunktion $\pi (n)=\#\{p\leq n\}$, die die Anzahl der Primzahlen kleiner n angibt.
• Die Möbiussche μ-Funktion (siehe Abschnitt über Faltung)
• Die p-adische Exponentenbewertung $\nu _{p}(n)$.

Multiplikative Funktionen

Eine Funktion heißt multiplikativ, wenn gilt: f(ab)=f(a)·f(b) für a,b teilerfremd. Sie heißt streng multiplikativ, wenn man die zusätzliche Bedingung der Teilerfremdheit weglassen kann.

Beispiele für multiplikative Funktionen sind die Teileranzahlfunktion, die Teilersummenfunktion und die eulersche φ-Funktion. Streng multiplikativ ist beispielsweise die Identität.

Für multiplikative Funktionen hat man die folgende charakterisierende Eigenschaft:

$f$ multiplikativ $\iff f(n)=\prod _{p\in \mathbb {P} }f\left(p^{\nu _{p}(n)}\right)$

Additive Funktionen

Eine Funktion heißt additiv, wenn gilt: f(ab)=f(a)+f(b) für a,b teilerfremd. Sie heißt streng additiv, wenn man die zusätzliche Bedingung der Teilerfremdheit weglassen kann.

Ein Beispiel für eine additive Funktion ist die p-adische Exponentenbewertung. Aus jeder multiplikativen Funktion lässt sich eine additive Funktion konstruieren, indem man das Ergebnis logarithmiert. Präziser: Wenn f (streng) multiplikativ ist, so ist $\log \circ f$ eine (streng) additive Funktion.

Faltung

Die Faltung zweier Funktionen ist definiert als

$(f*g)(n):=\sum _{d|n}f({\frac {n}{d}})g(d)$

Die Funktion F:=f*1 bezeichnet man als die summatorische Funktion von f. Dabei bezeichnet 1 die Funktion, die konstant 1 ist.

In diesem Zusammenhang ist die (multiplikative) Möbiussche μ-Funktion interessant:

$\mu (n):=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{für }}n=1\\(-1)^{k}&{\mbox{falls }}n=p_{1}\dots p_{k}&{\mbox{mit von einander verschiedenen Primzahlen }}p_{i}\\0&{\mbox{sonst}}\\\end{matrix}}\right.$

Mit Hilfe der Möbiusschen μ-Funktion kann man aus der summatorischen Funktion F die ursprüngliche Funktion f zurückgewinnen, indem man F*μ berechnet.

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Siehe auch: Faltung (Mathematik)